Matematicando in classe prima (13). Sottrarre non è solo sottrarre

Quando addiziono unisco e metto insieme, l’abbiamo imparato sin da piccoli e più o meno facilmente lo abbiamo imparato tra i banchi utilizzando il segno giusto e contando con quanti più strumenti a nostra disposizione. Ma quando ti sembra di aver il mondo in mano e aver capito che la matematica è un gioco da bebè… ecco che arriva la sottrazione a sconvolgere tutto. Tra i banchi vedo le prime facce preoccupate e i primi tremori di incertezza. Eh sì, perché sottrarre non significa solo sottrarre: questa simpatica operazione aritmetica si porta dietro concetti ben più complessi.

Premessa. La sottrazione è una di quelle operazioni che, se affrontata male o in modo non adeguato, porta inevitabilmente a misconcezione. Conflitti, misconcezioni e modelli intuitivi sono degli argomenti che stanno emergendo con forza nella studio della didattica della matematica perché costituiscono punti deboli ma, se affrontati nel modo giusto, punti di forza per l’apprendimento della matematica (sia in aritmetica che in geometria). Citando Bruno D’amore nel suo libro “Didattica della matematica” (consiglio lettura)

Lo studente nel tempo costruisce un concetto e se ne fa un’immagine; questa immagine può essere stata validata e rinforzata nel corso del suo curricolo scolastico da prove, esperienze ripetute, figure, esercizi risolti ed accettati dall’insegnante come corretti, ma può capitare che tale immagine si riveli inadeguata, prima o poi, rispetto ad un’altra dello stesso concetto […]. Questo crea un conflitto tra la precedente immagine, che lo studente credeva definitiva, relativamente a quel concetto, e la nuova.

La misconcezione si verifica proprio nel caso in cui si crea un conflitto tra concetto iniziale (errato) e quello nuovo (corretto). È misconcezione quel concetto errato che dovrebbe essere evitato ma che potrebbe anche rivelarsi positivo perché per raggiungere la costruzione di un concetto può essere necessario, tal volta, passarvi attraverso momentaneamente per giungere poi ad una sistemazione definitiva del concetto giusto. Con la sottrazione si rischia di far acquisire il concetto di “togliere da” (intuitivo)… escludendo, o trascurando, quello di “complemento a…” che rimanda all’addizione e, solitamente crea confusione e dubbio. I due significati intuitivi della sottrazione (serve per calcolare ciò che resta ma anche la differenza) in realtà rimandano ad un unico significato formale (l’operazione della sottrazione appunto).

Per un approccio corretto alla sottrazione da un punto di vista logico è necessario operare, almeno inizialmente, in situazioni pratiche (oggetti che vanno contati e tolti in base alla consegna data) e con l’aiuto di domande stimolo (Quanti in più? Quanti in meno? Quanti ne mancano per… Quanti ne rimangono? Qual è la differenza?). In questo caso dall’esperienza concreta e di mera manipolazione di oggetti concreti si passa alla rappresentazione grafica per mezzo degli insiemi. Prima di partire con il concetto di sottrazione sarà comunque opportuno fare un’esperienza diretta con il concetto di negazione (disegna una mela rossa e accanto disegna una mela NON rossa, ecc). Solo a questo punto si può affrontare il concetto di sottoinsieme che condurrà all’insieme complementare, utile appunto per sviluppare uno dei significati della sottrazione. Esempio1: Forma l’insieme delle lettere dell’alfabeto; all’interno forma il sottoinsieme delle vocali. Gli elementi che sono dentro l’insieme lettere ma non appartengono a quello delle vocali rappresentano la parte complementare dell’insieme  e nello specifico sono le consonanti. Esempio2: Forma un insieme di 7 ombrelli di cui 5 aperti e 2 chiusi; In tutto ci sono 7 ombrelli e gli ombrelli chiusi sono 2; Quanti sono gli ombrelli aperti? Per calcolare la parte complementare (ombrelli aperti) devo ricorrere alla sottrazione 7 – 2 = 5. Viceversa se conosco la quantità di quelli aperti e devo calcolare quelli chiusi. Abbiamo lavorato con gli insiemi complementari per alcune lezioni sia manipolando oggetti che rappresentando sul quaderno e alla LIM. Il primo esercizio al sapore di sottrazione è questo: 

Prima ho fatto disegnare l’insieme e indicato la quantità degli elementi che deve contenere. Poi ho chiesto di dividerlo in due parti e da una parte (con il blu) ho fatto disegnare alcuni elementi. A questo punto ho chiesto loro di disegnare in rosso gli elementi che mancano per arrivare alla quantità indicata. Come facciamo a sapere e calcolare quanto manca? I bambini solitamente tendono ad utilizzare l’addizione. Se gli elementi devono essere 6 e ce ne sono disegnati 5 rispondono che per calcolare basta fare 5 + 1. Noi stessi magari diciamo “Quanti elementi dobbiamo aggiungere per arrivare alla quantità data?”. Il rischio di misconcezione è alto ma a questo punto è necessario sviscerare il ragionamento. Noi dobbiamo operare con le quantità a disposizione. Quando operiamo addizioni conosciamo le quantità da trattare e arriviamo ad un risultato. In questo caso conosco il 6 (la quantità complessiva) e il 5 (quella che ho già) ma devo scoprire quanto manca. Spunta così il concetto di sottrazione come “quanto manca a …” e la risposta è 6 – 5 = 1 Per arrivare alla quantità 6 manca un elemento. Lavoriamo così per un po’ facendo molti esempi anche a voce alta. Non abbiamo ancora fatto problemi scritti ma impariamo ad ascoltarli e a risolverli verbalmente.

La sottrazione è anche “togliere da” e questo, solitamente, è il significato che i bambini riconoscono più facilmente. Lavoriamo concretamente con oggetti ed esempi mirati e poi sul quaderno facendo esercizi semplici illustrati seguiti dalla sottrazione scritta. 

Per lavorare sulla differenza ci aiutiamo invece coi regoli. Troviamo la differenza tra alti e bassi. Prima facciamo un appunto sul significato del termine “differenza” e non diamo per scontato che i bambini lo conoscano. Infine regoli alla mano e quaderno pronto per registrare. Il quaderno quadrettato ci aiuta a visualizzare e contare la differenza e sotto riportiamo la sottrazione effettuata. Prima scrivo quanto vale il regolo alto (è quello più grande, con il valore maggiore) e poi sottraggo il regolo più basso (con il valore minore) per arrivare al risultato. Una volta capito il meccanismo i bambini lavorano in autonomia. Questo tipo di lavoro mi permette di riflettere con loro sul significato di sottrazione e su come utilizzarla “Possiamo calcolare la differenza prendendo prima un basso e poi un alto? Proviamo con le dita. I conti non tornano”. Spiego ai bambini che per ora, perché poi quando saranno più grandi scopriranno che ad un certo punto tutto potrà essere, lavoriamo sempre togliendo da una quantità più grande una più piccola. Arriviamo anche a comprendere che mentre con l’addizione la quantità iniziale aumentava… con la sottrazione diminuisce. Questo lo approfondiamo meglio con l’utilizzo della linea dei numeri. Con l’addizione infatti ci siamo sempre mossi da sinistra verso destra dai numeri che crescono mentre con la sottrazione ci dobbiamo muovere da destra verso sinistra dai numeri che decrescono. Lavoriamo sul libro con la linea dei numeri classica ma sul quaderno e nelle attività alla lavagna preferisco usare la linea di Bortolato. Non abbraccio completamente il metodo Bortolato ma credo che per quanto riguarda il calcolo veloce e le strategie da adottare sia molto utile. Stessa cosa per quanto riguarda i problemi illustrati e la logica. Nei mesi che mancano alla fine della prima classe lavoreremo molto sulle pagine della Linea del 20.

Dopo aver lavorato con la sottrazione esploriamo anche il significato di addizione e sottrazione come operazioni inverse. Facciamo semplici esempi e ci aiutiamo anche con semplici grafici. Ecco un esercizio che mi ha permesso di sfruttare anche le potenzialità delle coppie amiche. Molti miei bambini ormai lo sanno: appena spunta fuori il 10 o una coppia amica scatta l’allarme e possiamo calcolare velocemente senza l’utilizzo di linea dei numeri o delle dita. Nonostante tutto chiedo sempre ai bambini di verificare i risultati con linea dei numeri e le dita. Questa fase è molto importante. Ci sono ancora alcuni bambini che sentono la necessità di contare con le dita e ancora si inceppano: solo con l’esercizio e nuove strategie che vengono condivise tra compagni si impara a calcolare abilmente.