Matematicando in classe quarta (8). Ripasso sulle frazioni.

In classe quarta riprendiamo in mano il concetto di frazione, introdotto e sviluppato in terza, per approfondire alcuni aspetti e sondarne dei nuovi. In terza abbiamo compreso cosa s’intende per frazione, cosa significhi frazionare e ci siamo spinti anche al concetto di frazione decimale che ci ha introdotti poi ai numeri decimali. Nelle mie lezioni di terza sulla frazione trovate tutto il percorso introduttivo ben sviluppato. Può essere utile anche in quarta qualora non fossero state introdotte le frazioni già dalla classe terza oppure per effettuare un ripasso veloce se avete sondato che la vostra classe mostra ancora perplessità o dubbi.

Nella mia quarta abbiamo proceduto abbastanza spediti. Lo scorso anno ci siamo soffermati con cura su questo argomento quindi, quando quest’anno ho richiamato le conoscenze pregresse non ho avuto brutte sorprese. Nonostante tutto ho deciso comunque di predisporre una breve lezione introduttiva per rivedere alcuni termini dimenticati (numeratore e denominatore) e riprendere in mano alcuni esercizi classici. Questo mi ha consentito di ribadire alcuni aspetti e passaggi fondamentali per introdurre nuovi sviluppi. Per prima cosa abbiamo riflettuto sul significato di frazione a partire da alcuni esempi alla LIM in cui ho proposto interi frazionati e non. Questo ci ha permesso di risalire alla definizione di frazione e ribadire “l’alleanza con la divisione”. Ci è servito anche ricordare che possiamo frazionare interi oppure calcolare la frazione di una quantità o numero. Come sempre ci siamo aiutati con esempi grafici, anche molto semplici e se volete banali… ma utili per eliminare dubbi e incertezze, che poi abbiamo appuntato sul quaderno insieme alle parole da ricordare. Ecco una pagina del lavoro svolto sul quaderno:

Mi sono servita soprattutto dei colori, utili a far visualizzare la differenza tra numeratore e denominatore. Ho scelto il verde per tracciare le linee di divisione dell’intero  ma anche per segnare le parti da dividere nella quantità da frazionare (quindi sia per la frazione di un intero che di un numero) e il rosa per le parti da tenere in considerazione. Nella frazione di un intero non si sono presentati dubbi e i bambini sono riusciti da subito a svolgere una serie di esercizi interattivi proposti alla LIM con il software “Matematica al volo in classe quarta” e anche a lavorare sul quaderno con serenità. Nella frazione di un numero ci siamo invece soffermati in maniera più dettagliata aiutandoci con i colori, lavorando alla LIM come sul quaderno ma facendo anche una serie di esercizi alla lavagna ripresi poi oralmente. In questo caso è infatti importante che i bambini comprendano il meccanismo di calcolo (anche memorizzando i passaggi che in questa fase vanno esplicitati attraverso la scrittura) e lo imparino con un certo automatismo ma non trascurino il significato stesso di quanto si sta facendo. La quantità-numero presa in considerazione in effetti viene trattata come se fosse un intero quindi la dividiamo in parti uguali esattamente come indicato dal denominatore per poi prenderne in considerazione le parti indicate dal numeratore. L’esempio grafico con le palline aiuta sicuramente nell’intento e i colori aggiungono un aiuto in più. Oralmente facciamo diversi esempi con situazioni problematiche veloci affinché si comprenda l’utilità stessa dell’operazione; sul quaderno e poi sul libro eseguiamo esercizi di consolidamento.

Per comprendere pienamente il significato di frazione di un numero e legarla ad una situazione problematica della quotidianità propongo alla LIM questo problema e chiedo ai bambini di rispondere al quesito cercando di motivare la risposta. Il mio intento è che la motivazione li spinga ad esprimersi in termini frazionari e a utilizzare il linguaggio matematico (spiegando anche i calcoli effettuati) per argomentare la scelta. L’intento funziona in parte: alcuni bambini sono ancora spiazzati e non hanno ancora memorizzato il passaggio del calcolo; qualcuno ha ancora difficoltà a leggere con attenzione un testo problematico e a trovare una risposta valida; molti risolvono il problema intuitivamente ma ancora non riescono a spiegare il meccanismo attivato per risolverlo e calcolare; diversi bambini invece risolvono il problema e sono in grado di fornire una motivazione soddisfacente.  Proseguiamo pertanto con altri esempi in cui è necessario leggere i dati, ragionare e calcolare la frazione di un numero.  Ecco il problema del pasticciere Gigi:

A questo punto le cose vanno decisamente meglio. Probabilmente, l’aver inserito i dati in tabella li ha aiutati a visualizzare meglio le operazioni da risolvere. I calcoli procedono veloci perché ho scelto volutamente dei numeri facilmente divisibili e poi moltiplicabili senza bisogno di scomodare il calcolo in colonna.

Concludiamo la nostra settimana all’insegna delle frazioni parlando di parte complementare. Ricordo ai bambini che il concetto di parte complementare l’abbiamo incontrato in prima e ripreso in seconda quando abbiamo introdotto la sottrazione con gli insiemi. Velocemente disegno alla lavagna un esempio semplicissimo e afferrano il concetto. A questo punto mi ricollego alle frazioni

Se prendo un intero, e per comodità disegno una barretta che frazionerò in quattro parti uguali (ossia in quarti) e decido di prenderne in considerazione una parte (la parte che coloro di verde) posso dire che questa rappresenta… l’unità frazionaria, ossia?” – “Un quarto“. “Benissimo. Quindi siete d’accordo con me se dico che ho preso di questo intero solo una parte e non tutto l’intero. Per completare l’intero quanto manca in termini frazionari? Guardiamo la parte non colorata“. – “Mancano tre quarti maestra, cioè tre parti dell’intero“. Hanno compreso subito, coloriamo di rosa e visualizziamo subito l’intero colorato in due parti diverse. La prima è la parte di riferimento iniziale e la seconda viene detta la parte complementare… ossia la parte che completa l’intero. “Posso anche dire che un quarto più tre quarti formano l’intero. Lo dimostriamo velocemente con questa addizione facilissima. Se osservo i denominatori sono ovviamente uguali (perché l’intero è diviso in 4 parti nel nostro caso) mentre i numeratori vanno sommati: numeratore 1 rappresenta la prima parte considerata e numeratore 3 la parte complementare. Ottengo quattro quarti ossia: di un intero frazionato in quattro parti ne ho prese in considerazione quattro che significa tutte le parti cioè l’intero. Posso anche verificare la cosa ricordandomi che la frazione è una divisione. La linea frazionaria significa che divido il numeratore per il denominatore. Quattro diviso quattro infatti fa uno… il nostro intero!” Si crea naturalmente l’entusiasmo. Badate bene, ribadisco io, che quello che siamo facendo può essere matematicamente dimostrato perché dietro questi concetti c’è la matematica e i significati che si porta dietro. Il ragionamento regge perché abbiamo anche dimostrato che tutto torna.

Faccio presente che 3/4 è complementare di 1/4 o viceversa. Facciamo una serie di esercizi che a detta loro sono facilissimi… e in effetti vengono svolti con grande dimestichezza. Traiamo il tutto dal software Metodo Analogico con la LIM e ne approfittiamo anche per fare somme di frazioni. Infine propongo un esercizio che li costringe ad osservare con attenzione le frazioni e riflettere sul loro significato. Devono calcolare a quanti interi corrispondono le somme da calcolare:

Ci divertiamo procedendo in vari modi: sommando e individuando gli interi che inglobiamo con il riquadro rosa ad evidenziare quanti ne abbiamo individuato; verifichiamo utilizzando le somme e quindi dimostrando come fatto in precedenza; nell’ultimo caso ci accorgiamo che tutte le frazioni non sono altro che interi e quindi sommiamo direttamente.

Ma è solo con la situazione problematica che ho la possibilità di rendermi conto se tutti abbiano effettivamente compreso quanto fatto sino ad ora e, allo stesso tempo, colgo l’occasione di dimostrare quanto la frazione complementare sia utile. Detto il problema sul quaderno:

ROBERTO POSSIEDE I 4/6 DI UNA COLLANA DI FUMETTI. LA COLLANA INTERA È COMPOSTA DA 96 VOLUMI. QUANTI VOLUMI GLI MANCANO PER COMPLETARLA?

Leggiamo il problema con attenzione e cerchiamo di capire il significato di collana (molti lo ignorano) per poi concentrarci sulla raccolta dati. In questo caso è molto importante perché se raccolti bene ci permetteranno di risolvere il problema con facilità. Anticipo che potremmo risolvere questo problema in due modi diversi e quindi li vedremo entrambi anche per comprendere quanto uno sia più comodo dell’altro. Alcuni bambini si prenotano per tentare la soluzione. Ci arrivano quasi intuitivamente ma cerco di estrapolare loro il ragionamento che hanno fatto affinché possa essere condiviso con chi brancola nel buio.  “Sappiamo il numero esatto dei volumi posseduti da Roberto?” lancio io. Una bambina riesce a dare una spiegazione che soddisfa tutti: “Per ora no… ma conosciamo la frazione e quindi se calcoliamo i 4/6 di 96 scopriamo che quelli posseduti sono 64“. A questo punto tutti sono d’accordo che 96 rappresenta la quantità della collezione intera (il nostro intero) e quindi in questo modo calcoliamo i 4/6 dell’intero che rappresentano i volumi posseduti. Per arrivare alla soluzione del problema procediamo serenamente con una bella sottrazione ottenendo la cifra 32 che rappresenta i volumi mancanti. E questo era il metodo uno. “C’è secondo voi un metodo più veloce? Dobbiamo ragionare osservando il nostro intero che è 96. Di questo intero sappiamo che i 4/6 rappresentano la parte presa in considerazione ossia posseduta da Roberto. Ma possiamo scoprire la parte che manca… ossia la parte che completa l’intero?“. L’intuizione arriva: “Dobbiamo sapere qual è la frazione complementare che manca per completare l’intero!” Così calcoliamo i 2/6 di 96 e in un batter di ciglia spunta fuori subito il 32! E anche questa volta i conti tornano! Siamo tutti d’accordo che il secondo metodo è più veloce 🙂

Non ci resta che fare qualche esercizio di consolidamento sul libro. Si lavoro individualmente senza la mia guida e la correzione viene fatta in coppia con il proprio compagno di banco. Finalmente la ricreazione può avere inizio… e il fine settimana ci attende. Lunedì sarà la volta di frazioni proprie, improprie e apparenti.

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