Matematicando in classe quarta (9). Confronto tra frazioni.

Entriamo nel vivo della frazioni focalizzando l’attenzione su tre casi specifici in cui sarà necessario osservare bene quanto rappresentato al fine di trovare le caratteristiche che contraddistinguono i nostri interi e arrivare alla condivisione di una definizione comune.

Iniziamo con il caso numero uno. Disegno alla LIM un intero chiedendo ai bambini di rappresentarne i 2/3. Loro lavorano in autonomia sul quaderno e una volta terminato pongo le seguenti domande: Hai colorato tutto l’intero? La frazione che hai colorato è minore dell’intero. I bambini rispondono che hanno frazionato l’intero in 3 parti (come si evince dal denominatore) e ne hanno preso in considerazione solo 2 (che hanno colorato, come indicato dal numeratore) giungendo alla conclusione di aver rappresentato una frazione minore dell’intero. “A completare l’intero manca un terzo!” dice qualcuno.  Appuntano quanto osservato sul quaderno e alla lavagna nera facciamo diversi esempi in cui il numeratore, ci facciamo caso, è sempre minore del denominatore. Si tratta di quelle frazioni alle quali ci siamo riferiti da sempre. Esse sono dette frazioni proprie e le definiamo come quelle frazioni che, con numeratore minore del denominatore, rappresentano solo una parte dell’intero (e non tutto). Scriviamo una serie di frazioni proprie per consolidare quanto appreso e andiamo al caso due.

Chiedo di rappresentare la frazione 5/3. Restano ovviamente spiazzati. Ragionando infatti comprendono che l’intero deve essere diviso in 3 parti … ma ne devo considerare ben 5. “Basterà un intero solo?“. Convengono che un intero non basta… e allora faccio un esempio che gli consentirà di riflettere e capire cosa sta accadendo. “Ci sono 5 amici che vogliono spartirsi una barretta di cioccolato formata da 3 quadratini staccabili (come quelle che conoscete voi). Ognuno di loro dovrà prendere un quadratino… Secondo voi una barretta potrà bastare a soddisfare tutti e 5?” Ovviamente no e allora chiedo come si potrebbe risolvere il problema. “Bisognerebbe avere una barretta in più” dicono in coro. Esattamente. A questo punto posso rappresentare i miei 5/3 in questo modo, ragionandoci su:

Dopo aver visto diversi esempi concludiamo che quando una frazione ha un numeratore maggiore del denominatore si riferisce a più interi, quindi è maggiore di un intero. Queste particolari frazioni sono dette improprie.  Scriviamo una serie di frazioni improprie per consolidare quanto appreso.

Arriviamo al caso tre. Ecco la pagina che mostro alla LIM. Procediamo come fatto precedentemente e arriviamo insieme alla conclusione. Una frazione è detta apparente quanto in realtà rappresenta uno o più interi. Sarà sufficiente semplificare i termini operando una divisione tra numeratore e denominatore. Ragionando notiamo che se il numeratore è un divisore del denominatore, e quindi il denominatore diventa uno… allora abbiamo una frazione apparente. In questo modo ci avviciniamo anche al concetto di “semplificazione” che affronteremo in maniera approfondita nella prossima lezione. Colgo comunque l’occasione per provare a capire il meccanismo ossia richiamando il concetto di divisore (studiato il mese scorso) e introducendo quello di “divisore comune”, utile a semplificare. Proviamo a fare qualche esempio e capiamo subito il meccanismo. Sembra facile!

Nella lezione successiva siamo pronti a operare confronti tra frazioni e provare ad ordinarle… ma soprattutto a semplificarle in modo da rendere i confronti più semplici. I confronti tra frazioni che propongo riguardano , prima di tutto, frazioni con denominatore uguale. Chiedo di rappresentare cinque frazioni: tre quinti, un quinto, cinque quinti e quattro quinti. Poi domando quale sia, secondo loro, la frazione più grande cioè quella che rappresenta una parte maggiore e quella più piccola. I bambini individuano subito entrambe le frazioni. Avendo un denominatore comune (tutti gli interi sono divisi in cinque parti) sarà sufficiente tener conto dei numeratori ossia delle parti da prendere in considerazione. A questo punto dovranno metterle in ordine crescente. Stabiliamo la regola e infine lavoriamo con alcuni esempi.

La questione cambia quanto opero con frazione che hanno numeratore uguale ma denominatore diverso. Anche questa volta, per iniziare, ci aiutiamo con i disegni. Prima confronto 1/4 con 1/8 e visualizziamo subito che 1/4 è più grande. Faccio notare che, quando si confrontano le frazioni, prendiamo interi che “hanno la stessa grandezza” altrimenti i conti non tornerebbero. Alla lavagna facciamo degli esempi per comprendere quanto le cose cambino se confrontiamo interi diversi. Poi vediamo il secondo caso confrontando 2/3 con 2/6 e anche qui la rappresentazione grafica ci aiuta. Osserviamo subito che anche in questo caso è più grande la frazione che ha un numeratore minore. Ed è anche logico, stiamo dividendo in meno parti quindi “le fette sono più grosse”. Ma nel secondo caso notiamo anche che 2/6 coincide con 1/3 della prima frazione. Se infatti semplifico 2/6 arrivo ad ottenere 1/3 notando che le cose quadrano e ribadendo ancora di più che 2/3 è maggiore di 2/6 e infatti di 1/3. Come abbiamo semplificato? Osserviamo numeratore e denominatore. Esiste un divisore comune?… ossia un numero che divide perfettamente sia numeratore che denominatore? Questo numero è il 2. Quindi 2:2 = 1 (numeratore semplificato) e 6:2 = 3 (denominatore semplificato. La regola che scriviamo infine è la seguente: se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha il denominatore minore o viceversa (quindi è minore quella che ha il denominatore maggiore!).

Siamo pronti per le frazioni equivalenti. “Qualcuno ricorda cosa s’intende per EQUIVALENTE?“. Riprendiamo il significato di equivalente facendo anche esempi con le equivalenze (per fortuna molti di loro ricordano bene il lavoro svolto lo stesso anno e riescono anche a svolgere quelle equivalenze voltanti proposte come esempio alla lavagna) prima di maneggiare le frazioni. Sono equivalenti quelle frazioni che indicano la stessa quantità quindi se confronto, ad esempio, 1/2, 2/4 e 3/6 osservo grazie ai disegni che sto esprimendo la stessa quantità in termini diversi. Sebbene il primo intero sia diviso in due parti e ne abbia considerato solo una (la metà) essa corrisponde alla stessa quantità presa in considerazione nel secondo intero (le 2 parti di un intero diviso in 4 parti) ma anche del terzo (le 3 parti di quello diviso in 6): stiamo parlando sempre di metà! “Secondo voi la seconda e la terza frazione possono essere semplificate?“.  Sono tutti d’accordo che possiamo operare semplificazioni per entrambi. I 2/4 hanno 2 come divisore comune e diventano infatti 1/2 mentre i 3/6 hanno 3 come divisore comune e diventa 1/2 anche essa: tutte la metà! Quindi procederò sempre così, aiutandomi con i divisori comuni a numeratore e denominatore per SEMPLIFICARE LE FRAZIONI. Chiedo di confrontare tre frazioni e cerchiare quelle equivalenti. Le domande chiave sono sempre le stesse: è possibile operare semplificazioni? quali sono i divisori comuni? come sono queste frazioni?

Non ci resta che consolidare quanto appreso in queste lezioni con una serie di esercizi mirati. Ancora una volta mi aiuto con il software di Bortolato per la LIM. Insieme osserviamo gli esercizi interattivi e ognuno di loro lavora in autonomia sul quaderno. Infine correggiamo e discutiamo i risultati. Questa fase di correzione e confronto è importantissima: ci si rende conto se la lezione è stata compresa, se persistono dubbi e perplessità, se ancora è necessario rivedere i concetti e gli esercizi precedenti per arrivare alla soluzione.  Gli esercizi che propongo sono i seguenti:

  1. Scrivere una frazione equivalente a partire da quella osservata alla LIM. I bambini osservano una serie di frazioni (rappresentazioni) e devono scriverle in termini numerici (es. 12/16). In rosso scrivono accanto la frazione equivalente (3/4). Propongo anche casi con frazione di partenza 2/7 e frazione equivalente da ricavare scegliendo un multiplo comune (4/14). Ci esercitiamo soprattutto per acquisire dimestichezza con le semplificazioni. Questo è un buon esercizio anche per consolidare il concetto di divisore.
  2. Confrontare una serie di frazioni e cerchiare solo quelle equivalenti. I bambini scrivono 5 frazioni e cerchiano solo quelle equivalenti. Sarà necessario operare delle semplificazioni a mente prima di poter essere sicuri di ciò che si tratta. Es: 1/3; 2/6; 3/9; 1/4; 4/12. Le equivalenti sono tutte esclusa 1/4.
  3. Cerchiare solo le frazioni che valgono metà intero. I bambini hanno alla LIM una serie da 4 frazioni ciascuna che dovranno mentalmente semplificare e cerchiare solo quelle che corrispondono alla metà dell”intero. Es: 8/16; 9/18; 5/9; 10/20. Tutte tranne 5/9.
  4. Cerchiare solo le frazioni che valgono più di metà intero. Come quello sopra.
  5. Cerchiare solo le frazioni che valgono meno di metà intero. Come sopra.

Non ci resta che consolidare quanto appreso andando a lavorare in autonomia sul libro di testo. Per ora abbiamo fatto il pieno. La prossima volta faremo una verifica in itinere sulle frazioni… prima di affrontare le frazioni decimali e quindi i numeri decimali.

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