Matematicando in classe quarta (10). Dalle frazioni ai numeri decimali.

Dopo aver lavorato su frazioni proprie, improprie e apparenti, classificato e ordinato frazioni, manipolato quantità e sperimentato con esercizi di vario tipo… rispolveriamo alcune conoscenze pregresse. Riprendiamo in mano il concetto di frazione decimale che ci consentirà di affrontare tutto il programma previsto per il secondo quadrimestre: i numeri decimali. Con i numeri decimali infatti ci ricollegheremo non solo alle equivalenze e le unità di misura (già introdotte in terza) ma eseguiremo i nostri primi calcoli con addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Inoltre potremmo sviluppare anche quanto anticipato lo scorso anno con gli euro e ragionare su prezzo unitario e complessivo, guadagno, ricavo ecc. Per la prima volta parleremo anche di numeri percentuali.

La prima lezione introduttiva all’argomento è di ripasso e si ricollega anche al lavoro svolto lo scorso anno su “numeri decimali con la Rana Romilda“. Si tratta di richiamare alla mente il concetto di frazione decimale attraverso una serie di esempi che propongo alla lavagna e che servono per catturare l’attenzione ma soprattutto riattivare la memoria. Soltanto dopo aver visto diversi esempi in cui l’intero è diviso in 10 o 100 o 1000 parti, appuntiamo sul quaderno quanto ricordato aiutandoci anche con le immagini e scrivendo i concetti principali. In questa fase è importante richiamare anche il nome della frazione quindi: 1/10 un decimo… 1/100 un centesimo… ecc. Negli interi divisi in 10 parti prendo i decimi mentre in quelli da 100 parti i centesimi. Il decimo può essere diviso inoltre in altre dieci parti che moltiplicate per le altre dieci dei decimi mi riportano ai centesimi. Proviamo a fare anche qualche equivalenza tra decimi e centesimi per riportare alla memoria quanto visto in terza. A questo punto proviamo a ordinare frazioni decimali con denominatore diverso. Comprendiamo subito che sono più grandi le frazioni in decimi, poi ci sono quelle in centesimi e infine in millesimi. Ma dobbiamo stare attenti alle semplificazioni… che spesso possono creare dei dubbi. Prendo le seguenti frazioni decimali: 6/10; 3/10; 47/1000; 40/100. Le metto in ordine decrescente. I bambini riescono subito ad individuare la più piccola: 47/1000. Poi procediamo. Saranno indotti a individuare la 40/100 e poi tra 6/10 e 3/10  è facile perché con denominatore uguale confronto i numeratori. Ma se osservo bene la frazione 40/100 capisco che posso semplificarla. Come? Dividendo per 10 numeratore e denominatore ottengo esattamente 4/10 che dovrò collocare tra 6 e 3 decimi! Quindi avrò: 6/10; 40/100; 3/10; 47/1000.  Se invece devo confrontare (come ho proposto sul quaderno): 6/10; 3/100; 47/1000; 40/100, non ho problemi e vado liscia.

A questo punto proviamo a giocare con le frazioni complementari di quelle date per arrivare all’intero. Preciso, e non è mai superfluo continuare a farlo, che il nostro intero equivale al numero 1 quindi in termini frazionari lo posso esprimere con 10/10 (se frazionato in 10 parti) o 100/100 (in cento parti) o 1000/1000 (in mille parti) perciò procediamo come abbiamo imparato a fare. Ma questa volta facciamo un passaggio in più: trasformiamo la frazione in numero decimale. Si tratta di dividere numeratore per denominatore (applicando la regola dei numeri da dividere per 10, 100 e 1000 e poi procedere ricordando di inserire la virgola). Se osservo il numero comprendo che lo 0 indica che non abbiamo preso la parte intera e dopo la virgola compare quella decimale. In rosso sono indicate le parti che i bambini hanno aggiunto via via completando la parte complementare e poi sotto trasformando in numeri decimali. In questo modo è possibile osservare con immediatezza il legame tra frazione e numero decimale. Per avere più chiara la situazione disegniamo una linea dei numeri e ragioniamo.

Immaginiamo di andare a guardare con una grande lente di ingrandimento cosa c’è tra l’intervallo 0 e 1 (il nostro intero). Diviso in dieci parti uguali (i nostri decimi) saranno 1/10, 2/10 ecc sino a 10/10 ossia 1. Con l’azzurro segno le unità e con i rosso le parti decimali più piccole. In questo modo è molto semplice intuire cosa accade e capire anche come lavorare coi numeri decimali. Superato l’intero siamo nel campo delle frazioni improprie: 15/10 significa che ho un numero maggiore dell’intero ma comunque decimale perché è maggiore di 1 ma minore di 2. Se effettuo la divisione tra numeratore e denominatore spunta fuori 1,5 ossia una unità e 5 decimi. “Quanto manca ad arrivare alla seconda unità?” Velocemente arriva la risposta: lo 0,5 possiamo ottenerlo contando direttamente da 15 a 20 (20/10) oppure prendendo in considerazione i decimi da contare.

Prima di concludere questa lezione e affrontare alcuni esercizi sul libro di testo facciamo un resoconto di quanto sappiamo o abbiamo ricordato insieme:

Per la virgola da inserire mi aiuto coi colori alla lavagna ma con il dito che si sposta verso sinistra esattamente come imparato a fare lo scorso anno con le equivalenze e riprendendo la famosa regola dei numeri da dividere per 10, 100 e 1000 opportunamente ripassata anche quest’anno.

La lezione seguente riprende il concetto di frazioni e numeri decimali con l’introduzione di euro e valori percentuali. Perché? Ci renderemo conto che questi numeri hanno molto in comune e si prestano a vari ragionamenti. Tutto il lavoro impostato in questa lezione si rifà agli esercizi proposti nel software Matematica al volo in quarta con la LIM – Metodo Analogico (Camillo Bortolato) che uso spesso durante le mie lezioni. Anche non abbracciando completamente il metodo (che non uso puro) ritengo che alcuni esercizi siano molto intuitivi e quindi li uso con la classe per impostare insieme una serie di ragionamenti. Ogni attività predisposta con il software viene sempre ampliata, sviluppata e arricchita dal mio metodo. Chi applica il metodo Bortolato in purezza 😉 ritiene di non dover aggiungere niente altro al metodo e di abbandonare tutto il resto. Io sinceramente non sono una fondamentalista dei metodi matematici ma mi piace offrire ai miei studenti una serie di strumenti diversi per operare con più completezza e serenità nel mondo dei numeri e della logica.

Prima di parlare di percentuali cerco di capire chi ne ha mai sentito parlare. Grazie all’esperienza quotidiana con “saldi”, “percentuale di carica della batteria del telefono” ecc… ci rendiamo conto che tutti hanno idea di cosa sia un numero espresso in percentuale pur non avendolo mai affrontato a scuola. Disegno un intero, un classico grafico a torta, e lo divido a metà. Chiedo quale, secondo loro, sia il valore percentuale di una parte e loro rispondono 50%. Conveniamo insieme che il 50% equivale a un mezzo (o metà) dell’intero. Aggiunta l’altra metà arriviamo a 100. “A questo punto ragioneremo sempre con frazioni decimali espresse in centesimi. Facciamo un altro esempio – e disegno alla lavagna un altro diagramma a torta- cercando di rappresentare le preferenze della classe sui gusti di gelato. Diciamo che il 40% preferisce il gelato al cioccolato, il 30% alla crema e il 20% alla fragola. Il restante invece al caffè. Possiamo sapere a quale percentuale corrisponde se l’intero vale sempre 100? “. Ovviamente la risposta non si fa attendere; il 10% preferisce il caffè. Facciamo altri esempi e poi andiamo alla LIM con gli esercizi sul software. Dapprima lavoriamo solo alla LIM. Richiamo l’attenzione sugli euro. “Un euro rappresenta il nostro intero. Quale la moneta di valore minore che esiste negli euro? – Un centesimo!- Esattamente. Quindi per fare un euro di quante monete da un centesimo avrò bisogno? – 100 monetine“. Osserviamo alla LIM un intero diviso in 100 parti che rappresenta un euro. Se ne coloro solo un quadratino… quello rappresenta un centesimo. Esattamente 1/100 di euro. Proviamo ad osservare: vediamo una moneta da un euro e due monete da 10 centesimi.

Un euro è rappresentato da un intero diviso in 100 parti di cui ne abbiamo preso in considerazione tutte le 100 parti (100/100) mentre i 20 centesimi corrispondono a due colonne da 10 ciascuna (10/100 + 10/100). 1 è l’unità e la parte decimale (che separo con la virgola) sono i 20 centesimi di cui 2 decimi e 0 centesimi (ho preso infatti due colonne da 10 e nessun quadratino che rappresenta da solo o in quantità inferiore a 10… i centesimi). Osservo come scrivere in cifra decimale (un euro e venti centesimi) e poi riconduco al termine frazionario: ho preso 120 parti su 100 (frazione impropria). Se verifico facendo 120/100 ottengo infatti 1,20. E tutto torna. Facciamo una serie di esercizi di questo tipo insieme e alla LIM poi per consolidare ripropongo gli stessi da fare in autonomia sul quaderno a cui seguono anche nuovi esercizi con difficoltà diverse. Lavorano concentrati e con sicurezza. Al termini di ogni esercizio correggiamo alla lavagna e ci confrontiamo. Per lavorare sul quaderno utilizzo uno schema differente rispetto a quello proposto dal software (evito di far disegnare gli interi diviso in 100 parti visto che alla LIM abbiamo le immagini di riferimento):

Dopo aver compreso il legame tra numero decimale e euro… affrontiamo il concetto di valore percentuale ricordando quanto detto ad inizio lezione: l’intero espresso dal valore 100! Così se coloro 50/100 di quell’intero a quale percentuale mi riferisco? E se ne prendo in considerazione solo 1/100? Rispondono sicuri 50% e 1%. Con estrema semplicità operiamo le trasformazioni da numero decimale a frazione decimale a valore percentuale. Vediamo anche i casi in cui superiamo il valore dell’intero (110% ecc.). 
      A questo punto non ci resta che chiederci cosa accade invece quando abbiamo a che fare con frazioni non decimali. Possiamo comunque ricavare da una frazione non decimale… un numero decimale? Ovviamente sì!

Per comprendere cosa accade partiamo da un intero frazionato in 4 parti di cui ne prendiamo in considerazione 3. Ci riferiamo ad una frazione di 3/4. Come sappiamo la linea di frazione ha il valore della divisione quindi se faccio 3 diviso 4 (divido numeratore per denominatore come facevo con le frazioni decimali) ottengo un numero decimale. Con quelle decimali potevo sfruttare la regola del 10, 100 e 1000 mentre con queste frazioni non posso e quindi devo operare… in colonna. Per ora non lo sappiamo ancora fare ma alla lavagna mostro loro come in realtà sia facile. Inserisco la virgola e continuo sino a quanto non ottengo resto. Il numero decimale corrispondente ai 3/4 è 0,75 con valore percentuale pari al 75%. Se Osservo riesco a capire che è più della metà ma meno dell’intero.

Lavoriamo in questo modo con esempi che non costringano i bambini a operare con la divisione ma possono essere ricavati osservando le immagini e individuando prima la percentuale e poi il numero decimale. Ho il 25% con i 2/8, il 50% con i 3/6 e così via.