Matematicando in classe quinta (2). Geometria tra natura e arte: la serie di Fibonacci e la sezione aurea

Per riprendere in mano la geometria secondo il mio stile (quindi andando oltre le solite attività proposte da libro di testo e programma annuale previsto) ho deciso di proporre una lezione un po’ speciale. Certa dell’attenzione delle mie alunne e dei miei alunni per le meraviglie della natura e motivata dalla mia passione per l’arte, ho rispolverato una vecchia conoscenza che ci consentirà di legare insieme scienza, arte e matematica. La vecchia conoscenza è il caro e buon Leonardo Fibonacci già incontrato anni fa quando si parlò dell’introduzione dello zero nel nostro sistema numerico ma anche nella famosa storia dei conigli. Se non conoscente queste due storie interessanti vi raccomando di procurarvi il libro di Irene Venturi “Che scoperta! Storie di idee fulminanti” di cui vi avevo già parlato e che ho utilizzato spesso per introdurre nuovi argomenti di matematica e scienze. Nel nostro caso mi riferisco al racconto “Lo zero e la disputa dei fiorentini” ma soprattutto “Fibonacci e la serie dei conigli” che rileggerò per presentare questa lezione.

Come mi è venuta in mente questa lezione? Saprete che la serie di Fibonacci e la sezione aurea non sono proprio argomento di quinta (della serie: ne possiamo fare anche a meno!) ma a me piace proporre stimoli diversi dal consueto per solleticare la fantasia e stuzzicare nuove idee e suggestioni. Così, mentre l’altro giorno vedevo un programma sull’architettura che si rifa alla spirale come concetto matematico, ho ripensato ad una mia vecchia lezione di anni. In arte e immagine parlai della rappresentazione del del volto femminile nell’arte – dall’antichità ai giorni nostri – soffermandomi poi sulla Monna Lisa. Dietro la perfezione di quelle forme, si ipotizza,  è presente il famoso rettangolo e la relativa sezione aurea di Fibonacci. Qui vi allego la parte della costruzione della lezione LIM (con i dettagli precisi in cui spiego come l’ho costruita) in cui introduco Fibonacci, la sua sequenza e la sezione aurea.

A partire dalla lezione LIM ho deciso di riprendere in mano l’argomento e, finalmente, svilupparlo tenendo conto delle competenze/conoscenze pregresse della mia classe: conoscenza del significato di sequenza numerica, capacità di costruire figure partendo da un modello dato, idea di cosa sia un frattale in senso molto figurato e ampio (lo scorso anno facemmo un laboratorio sul Triangolo di Sierpinski), capacità di misurare e calcolare proporzioni, abilità nel calcolo e capacità di pensiero logico-deduttivo. Questa lezione mette insieme tutti questi aspetti e mi consente di operare anche una veloce valutazione degli apprendimenti acquisiti nel lungo termine. Tra l’altro è un buon inizio per reintrodurre concetti che riprenderemo in mano durante questo anno scolastico. Nella prima parte della lezione presenterò una serie di immagini in cui mostro come natura e arte rispondano a concetti matematici squisiti a partire, ad esempio, dai frattali e le successioni numeriche di Fibonacci sino ad arrivare alle famose spirali contenute nella sezione aurica o aurica.

La sua successione si ritrova infatti in una varietà incredibile di fenomeni nel mondo naturale e vi si manifesta con grande spettacolarità. Il caso più documentato riguarda la fillotassi. È il modo in cui le foglie e i rami si distribuiscono intorno al fusto in modo che la disposizione sia tale da permettere che le foglie non si coprano fra di loro ma che ognuna  riceva il massimo possibile di luce e di pioggia. Questo è comprensibile, perché abbiamo scoperto e imparato come le piante abbiano una grande capacità di adattarsi all’ambiente e rispondere in maniera efficace alle esigenze legate alla sopravvivenza della specie, ma si rimane esterrefatti quando si scopre che questi schemi sono esprimibili in termini matematici ed hanno un legame con la serie di Fibonacci. Infatti, il numero di giri compiuti per trovare la foglia allineata con la prima è generalmente un numero di Fibonacci. È detto quoziente di fillotassi il rapporto tra il numero di giri e il numero di foglie tra due foglie simmetriche, tale quoziente è quasi sempre il rapporto tra due numeri consecutivi o alternati della successione di Fibonacci.   Oltre alle foglie, nelle piante anche altri elementi  si dispongono secondo schemi basati su numeri appartenenti alla serie di Fibonacci. L’ananas ne è un magnifico esempio, ognuna delle squame che la rivestono appartiene a tre diverse spirali che, nella maggior parte di questi frutti, sono in numero di 5, 8 e 13 (proprio numeri di Fibonacci). E avete mai pensato alla disposizione dei semi nei girasoli? Alla disposizione delle spine in alcune piante grasse? Alle spirali nelle pigne o nelle conchiglie? Ecco alcuni esempi in cui la sequenza di Fibonacci si manifesta in tutto il suo splendore!

Ma perché anche l’arte? Come affermava Ray Bradbury nelle sue “Cronache marziane”

La Scienza non è che la spiegazione di un miracolo che non riusciamo mai a spiegare e l’Arte è un’interpretazione di quel miracolo.

e l’arte stessa si ispira ai magnifici disegni della natura per perseguire un ideale di bellezza ed equilibrio che la matematica detiene. Avete dubbi sul rapporto tra matematica e arte? Allora vi consiglio di leggere il bellissimo libro di Bruno D’amore “Arte e matematica” di cui avevo già parlato. Per farla breve, e andando dritti al punto del nostro intento, i Greci si innamorarono di un particolare rettangolo, che chiamarono aureo (d’oro… talmente considerato prezioso) che risponde esattamente alla serie di Fibonacci. Si è scoperto che nell’Acropoli di Atene, ad esempio, si trovano rettangoli aurei di tutte le misure. Ma non solo. Molti artisti hanno fatto del rettangolo aureo un punto di riferimento per tracciare linee e proporzioni di notevole impatto. Si pensa che la Monna Lisa si basi su un rettangolo aureo come il famoso Uomo Vetruviano di Leonardo ma gli esempi, in ogni caso, si sprecano!

Ma cos’è la serie di Fibonacci? La mia idea è quella di partire dalla definizione (che verrà scritta sul quaderno)

“LA SERIE DI FIBONACCI È UNA SUCCESSIONE DI NUMERI INTERI IN CUI CIASCUN NUMERO È LA SOMMA DEI DUE PRECEDENTI”

e proporre l’inizio della sequenza per far continuare in autonomia il lavoro sul quaderno. L’inizio sarà 0 poi 1 e poi 1 e quindi 2 scritto così: 0, 1, 1, 2… e loro dovranno continuare con 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… sino a dove vogliono. È la famosa storia dei conigli di Fibonacci 😉

Dal libro “Mamma che numeri!

Una volta acquisita la serie ci spingiamo oltre: il rettangolo aureo! Semplificando, e ricordandoci che siamo in quinta, esso infatti si basa su una serie di proporzioni numeriche utilizzate nell’arte ma anche nella creazione di oggetti della quotidianità (carte di credito? oggettistica? cartoline?). Ma come riconoscere un rettangolo aureo? Facile! Basta misurare i lati del rettangolo, dividere la lunghezza del lato più lungo per quello più corto e se si ottiene 1,62 allora il rettangolo è detto aureo! È quindi aureo se rispetta questa proporzione. Lanciamo una sfida: armati di metro andiamo alla ricerca di rettangoli aurei. Misuriamo quaderni, tavoli, figurine… e tutto quello di rettangolare che ci capita sottomano. Qualcuno ha trovato un rettangolo aurico?

Il secondo passaggio è quello di costruire un rettangolo aurico. Per farlo partiamo proprio dalla serie di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Utilizziamo i quadretti del quaderno di geometria per disegnare dei quadrati che abbiamo per lato il segmento del quadrato disegnato. Il più piccolo quadrato vale infatti 1. Ecco cosa salta fuori rispettando la serie:

Rettangolo aurico

Mostrato l’inizio del lavoro, dovrebbero essere in grado di procedere in autonomia. I più scaltri potrebbero spingersi anche oltre e disegnare un rettangolo più grande ma fermandoci alle dimensioni del quaderno, e dopo aver disegnato il primo rettangolo, chiedo di disegnarne uno identico e poi tracciarne all’interno la famosa spirale. Ecco cosa riusciamo ad osservare nella figura qui a destra: Rettangolo aureo e spirale di Fibonacci

Il discorso potrebbe essere approfondito e sviluppato ulteriormente in maniera trasversale con le scienze e l’arte e immagine. Aspetto ispirazione dai miei alunni e magari da voi che avete letto questa mia lezione. Sono certa che vi saranno venute in mente molte idee o magari avete già proposto Fibonacci e la sua sequenza e avete qualche idea/consiglio da darmi.

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