Matematicando in classe quinta (5). Consolidamento moltiplicazione e introduzione alle potenze

Prima di introdurre le potenze e ricollegare il tutto ai grandi numeri, ripassiamo la moltiplicazione. Le lezioni dedicate al consolidamento non presentano novità di contenuto, poiché i temi trattati sono stati oggetto di studio negli anni precedenti, per cui procediamo in maniera abbastanza veloce. Propongo loro di lavorare in autonomia a partire dall’impostazione del lavoro alla lavagna e aiutandosi con il libro di testo. Questo tipo di attività consente loro di ripassare usando il libro e focalizzare anche l’attenzione sui concetti chiave da scrivere e organizzare sul quaderno per uno studio mirato. Gli aspetti fondamentali riguardano ovviamente i termini della moltiplicazione, la prova e le proprietà. Con le proprietà facciamo una serie di esempi che ci consentano di affinare le strategie di calcolo. Riusciamo subito ad applicare quella commutativa (che funziona come per l’addizione, ricordano), utile anche per effettuare la prova, e con essa rivediamo velocemente anche l’associativa. Con alcuni esercizi comprendiamo che queste due proprietà spesso lavorano insieme e vengono utilizzate in maniera più o meno consapevole ogni qual volta abbiamo bisogno di semplificarci i calcoli. Allo stesso modo possiamo verificare come anche la proprietà dissociativa sia utile nel momento in cui dobbiamo operare con numeri “antipatici”. Se devo calcolare ad esempio 130 x 30 x 8 provo a dissociare quei numeri che mi costringono a ricorrere alla colonna e allora faccio: 13 x 10 x 3 x 10 x 8 = (13 x 3) x (10×10) x 8 = 39 x 100 x 8 = 39 x 8 x 100 = 31 200. In questo caso utilizzo prima la proprietà dissociativa, poi quella associativa e infine la commutativa. Ovvio è che prima di decidere se utilizzare una proprietà, e quale utilizzare, sarà necessario osservare bene i numeri e capire la strategia migliore da adottare. Se c’è una cosa che ripeto sino allo sfinimento ai miei alunni (ma anche ai miei figli!) è questa: PRIMA DI INIZIARE A CALCOLARE GUARDATE I NUMERI! Sembrerà sciocco e scontato come consiglio ma non è così. Si è spesso schiavi di sistemi subdoli che inducono subito a mettere in colonna senza prima osservare i numeri e capire se è possibile calcolare velocemente soltanto usando le strategie giuste… che conoscono bene! Alcuni di loro lo fanno e procedono anche bene mentre altri trovano più rassicurante trovare la strada più battuta, quella considerata “sicura e rassicurante”. Quindi mi capita spesso di dimostrare alla lavagna come l’utilizzo delle strategie giuste, dietro le quali si celano spesso le proprietà delle operazioni, ci evita davvero un sacco di lavoro in più.

Ripassiamo infine anche la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione notando, anche questa volta, che gli esercizi proposti servono per affinare la tecnica ma, al momento più opportuno, saranno loro a decidere e scegliere se distribuire i fattori utilizzando l’addizione o la sottrazione. A questo punto possiamo dedicarci ad alcuni casi già noti: il valore dello zero e dell’uno nella moltiplicazione. Valore nullo dello zero, che rende l’altro fattore pari a zero quindi annulla il prodotto e valore neutro dell’uno che riconferma il valore dell’altro fattore. Questi aspetti li abbiamo già appresi quando abbiamo studiato le tabelline. Ricordo loro anche il perché un numero moltiplicato zero è uguale a zero rispolverando la lezione di ripasso effettuata in quarta su moltiplicazione e combinazioni e passiamo ai casi nuovi. Facciamo alcuni esempi alla lavagna e scopriamo che quando uno dei due fattori è inferiore a 1 allora il risultato è inferiore all’altro fattore. Se moltiplico, ad esempio il numero intero 13 per il numero decimale 0,2 comprendo ciò che accadrà: se avessi moltiplicato il 13 per 1 avrei ottenuto un prodotto uguale al primo fattore (13 appunto). Se moltiplico per un numero più piccolo dell’1 (nel nostro caso 0,2) otterrò per forza di cose un numero inferiore. Lo verifico facilmente anche andando in colonna con vari numeri decimali inferiori a 1. Quando poi verifichiamo utilizzando lo 0,1 ma anche lo 0,01 e lo 0,001 notiamo che accade qualcosa di particolare: l’altro fattore diventa più piccolo 10, 100 e 1000 volte tanto. Infatti, scopriamo che moltiplicare un fattore per 0,1 – 0,01 – 0,001 equivale a dividerlo per 10, 100 e 1000. Facciamo diverse prove e proviamo a sfruttare questo trucco per tutte le volte che ci potrà servire.

A questo punto ci dedichiamo a qualche calcolo in colonna ricordando anche che per operare coi numeri decimali si procede allo stesso modo in cui opero coi naturali ma inserendo la virgola nel prodotto finale tenendo conto delle cifre decimali totali dei fattori. Propongo diversi casi e lavoriamo concentrati in autonomia e correggendo poi alla lavagna.

Il passaggio successivo e introdurre il concetto di potenza. Per farlo ho deciso di aspettare il ripasso della moltiplicazione e ripassare i grandi numeri introdotti all’inizio dell’anno scolastico. Perché? Perché vedremo che la potenza è una moltiplicazione ripetuta e poi che con le potenze è possibile esprimere in modo diverso i grandi numeri. Ma partiamo con ordine. Prima di fare la conoscenza delle potenze riprendo in mano i numeri oltre le migliaia con un’attività diversa dal solito. Vista la passione e la curiosità dei miei alunni per tutto ciò che riguarda le scienze e in particolare lo studio dell’Universo, decido di proporre un esercizio matematico che ha a che fare con i pianeti e la loro distanza dal Sole. “Ricordate la lezione sugli arrotondamenti? Ecco, oggi lavoreremo con distanze in chilometri che sono state arrotondate perché diventa davvero difficile essere precisi. Queste distanze, espresse in decine e centinaia di milioni e anche miliardi, riguardano il nostro sistema solare. Scopriremo quanto ciascun pianeta dista dal Sole!”. La prima parte del lavoro mi consente di valutare se la scrittura dei numeri grandi è stata acquisita: prima detto le distanze e poi le scrivo alla lavagna in modo che tutti possano verificare e correggere. A salti chiedo di leggere ciascuna distanza. A questo punto cerchiamo di analizzare i numeri partendo dal valore posizionale delle cifre sistemandoli in una tabella e operando così un ripasso per quanto riguarda la scomposizione delle cifre e il loro valore. Questo passaggio è fondamentale per comprendere meglio le potenze del dieci e la possibilità di scomporre un numero utilizzando le potenze; allo stesso tempo aiuta nella lettura dei numeri grandi quei bambini che ancora hanno difficoltà. Dopo aver sistemato in tabella, letto a voce alta ed esserci soffermati sul valore posizionale delle cifre, chiedo di elencare i pianeti dal più vicino al più lontano rispetto al sole e poi illustrare tenendo conto dei dati.

Per introdurre il concetto di potenza richiamo alla memoria la storia di Sissa Nassir che ci aveva indotto a pensare ai grandi numeri ma che non avevamo potuto sfruttare pienamente in quarta perché era ancora troppo presto per introdurre il concetto di potenza. Riprendiamo infatti la storia dei chicchi di grano e dell’invenzione del gioco degli scacchi. Nella scacchiera infatti il conteggio dei chicchi di grano che Sissa Nassir avrebbe dovuto ricevere come ricompensa dal re era ottenibile applicando le potenze di una sequenza numerica in crescendo. Lo scorso anno, dopo una serie di ipotesi e discussioni, ci siamo concentrati su altri aspetti ma quest’anno rispolveriamo la storia per capire come Sissa Nassir aveva intenzione di sfruttare il suo ingegno per guadagnare un bel gruzzolo a scapito del povero re. Lascio in sospeso la storia e propongo un piccolo rompicapo:

Invito i bambini e le bambine a trovare la soluzione del quesito, elaborandola prima in modo personale e poi riflettendo insieme in base alle riflessioni emerse. Decido di usare un semplice schema per arrivare all’intuizione del ragionamento. Disegno 7 case e per ogni casa 7 gatti. Nell’immagine alla lavagna non disegno tutto nel dettaglio ma schematizzo. Mi interessa che si percepisca l’idea di ripetizione della stessa quantità. Così faccio per topi, spighe e misure. A questo punto il nostro ragionamento ci dovrebbe portare naturalmente al concetto di potenza come moltiplicazione ripetuta. Uso i colori per visualizzare ogni passaggio e scopro che il numero 7 si ripete per se stesso per ben 5 volte. È ovviamente diverso dal 7 per 5 e lo vediamo chiaramente con la rappresentazione: tutte le 7 case hanno 7 gatti e ognuno di quei 7 gatti per casa prende 7 topi, e ognuno di quei 7 topi per gatto e per casa mangia 7 spighe ciascuna delle quali contiene 7 misure! Gli elementi che saltano fuori in questa storia sono ben 16 807 ossia 7 elevato 5. In questo caso possiamo introdurre l’uso della calcolatrice per calcolare velocemente gli esempi che seguiranno. Spiego che la potenza, in linguaggio matematico, indica il prodotto di un numero che viene ripetuto per se stesso e introduco la scrittura corretta con i termini ad essa relativi. Mi aiuto con un esempio grafico disegnando alla lavagna un diagramma ad albero che mi consente di schematizzare al meglio e far visualizzare l’elevamento a potenza. Ci concentriamo quindi sul quaderno e lavoriamo chiamando in causa quanto emerso in quarta circa le misure quadrate. In questo modo ricordiamo il significato di misure quadrate e finalmente diamo un nome, con cognizione di causa, all’elevazione a potenza apparsa quando ci siamo dedicati alle misure di superficie. In geometria infatti avevamo iniziato ad intuirne il significato con un semplice esempio:

ma quest’anno possiamo comprendere meglio di cosa si tratta. Così osserviamo come si comportano i numeri elevati al quadrato (quindi elevati 2) ma anche al cubo (quindi elevati 3) con dei semplici disegni da schematizzare:

Nella lezione successiva – e dopo aver fatto una serie di esercizi mirati in cui abbiamo compreso come calcolare le potenze anche grazie alla calcolatrice – affrontiamo le potenze del dieci. Premetto che, in questo momento, risulta troppo complesso e neanche produttivo riflettere su casi particolari come l’elevamento a potenza con esponente 0 e 1 in quanto concetti troppo astratti. Possiamo fare delle ipotesi, far solleticare la curiosità ma alla fine, se non ci si arriva, sarà comunque opportuno ricordare che un numero elevato 0 è sempre uguale a 1 e qualsiasi numero elevato alla prima è uguale a se stesso. Tornando alle potenze del dieci, decido di proporre l’argomento con una sfida: proviamo a scomporre il numero 3489 utilizzando le strategie scoperte in questi anni e concentrandoci sul valore posizionale delle cifre. Esso infatti è composto da 3 migliaia, 4 centinaia, 8 decine e  9 unità ossia: 1000 + 400 + 80 + 9. Possiamo continuare a scomporre? Certamente. Il 3000 diventa 3 x 1000, il 400 diventa 4 x 100 e l’80 è un bel 8 x 10. Quindi abbiamo ancora:

3 x 10 x 10 x 10 + 4 x 10 x 10 + 8 x 10 + 9 x 1

Se osserviamo bene, notiamo che i 10 si ripetono per se stessi alcune volte. Oramai conosciamo le potenze e quindi possiamo utilizzarle in questo modo dicendo che 3000 è uguale a 3 x 103; 400 è uguale a 4 x 102; 80 è uguale a 8 x 101 e 9 è uguale a 9 x 100. Ecco che abbiamo scomposto il nostro numero in un modo del tutto nuovo. È dalla prima elementare che d’altronde dico ai miei alunni: “Ci sono tanti modi per esprimere un numero, è come giocare con essi. In base a come ci dobbiamo lavorare o al ragionamento che vogliamo sviluppare possiamo trovare il modo di esprimerlo a noi più comodo e funzionale!”. Beh, adesso impareremo a farlo anche grazie alle potenze! E le potenze sono un sistema comodissimo per esprimere soprattutto le grandi quantità. Vediamo come. Per farlo lancio una sfida: scomponi questo numero usando le potenze.

Partendo proprio dal ragionamento sviluppato precedentemente, e soffermandoci sul valore posizionale delle cifre, ripercorriamo passo passo ogni cifra del numero a partire dalle unità scomponendo via via e assegnando i valori di potenza. Ci viene in mente che le potenze del 10 ci suggeriscono quanti zeri seguono la cifra di riferimento in base al valore posizionale? Il discorso si fa interessante e così ci spingiamo ad esprimere i numeri da uno a cento miliardi con le potenze. Chi l’avrebbe mai detto che cento miliardi può essere espresso con 1011 e quindi l’uno è seguito da ben undici zeri? E con le potenze ci lavoreremo per quasi tutto novembre. Ma svelerò loro il mio segreto? Con le potenze abbiamo anche imparato a ricavare il polinomio di un numero! Ma queste sono cose da grandi 😉

Alcuni dettagli dal nostro quaderno di matematica

 

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