Prosegue il percorso sulle frazioni. Visto che stiamo lavorando per consolidare quanto appreso negli anni precedenti mi chiedo come posso sfruttare al meglio questo periodo per renderlo comunque vivo e stimolante anche per chi ha acquisito padronanza e sicurezza. Così ho deciso di proporre una serie di attività diversificate che consentono di rimarcare quanto appreso ma, allo stesso tempo, stimolare una serie di ragionamenti. Le due ore di lezione vengono così suddivise: attività mirata e introduttiva alla prima ora e potenziamento e/o recupero alla seconda. Quest’anno ho la fortuna di lavorare con una collega che opera in compresenza con me. Questo ci consente di dividere la classe in due gruppi e lavorare, dove occorre, o in maniera differenziata oppure allo stesso modo ma con un occhio di riguardo in più per gli alunni che hanno bisogno di spazzare via dei dubbi o semplicemente di acquisire più sicurezza.
Quando il gruppo classe è eterogeneo e numeroso diventa difficile, lo sapete bene, seguire tutti indistintamente o garantire a tutti la possibilità di poter vivere al meglio i propri tempi. Nel grande gruppo i più abili e veloci divorano gli altri… se pur nel rispetto di ognuno. Per un bambino insicuro o che ha ancora dei dubbi può diventare frustrante ammettere di aver bisogno di aiuto oppure rendersi conto che gli altri sono velocissimi nei ragionamenti e lui no. Questo accade anche se noi insegnanti garantiamo il rispetto dei ritmi di ognuno, cerchiamo di far capire che dai dubbi si può crescere e imparare anche di più, siamo ovunque con occhi e orecchie provando a coinvolgere tutti in maniera equa. Al contrario, quei bambini che arrivano subito alla soluzione del problema, che hanno intuizioni geniali o che studiano sempre puntualmente e quindi imparano con costanza… possono annoiarsi, possono avere l’impressione di dover sempre sottostare ai ritmi altrui. Accade anche se noi offriamo alternative, anche se ricordiamo che ognuno ha diritto di poter dedicare al lavoro il tempo necessario e via dicendo. Così, avere l’opportunità di dividere il gruppo di tanto in tanto per operare in maniera diversa o mirata può dar giovamento a tutti. I bambini insicuri hanno la possibilità di essere seguiti nel piccolo gruppo e di essere più spesso protagonisti godendo di una maestra “quasi” tutta per loro. I ritmi di lavoro saranno più lenti e comunque in sintonia con quelli degli altri. I bambini dell’altro gruppo invece potranno lavorare in maniera diversificata potenziando al massimo le competenze in maniera divertente e stimolante. Si lavora per piccole sfide che coinvolgono le abilità di tutti e garantendo la partecipazione attraverso brainstorming e ragionamenti condivisi.
Per consolidare il concetto di frazione impropria, apparente e propria ho deciso di “giocare” con le scomposizioni. L’idea di scomporre un numero o semplicemente osservarlo da punti di vista differenti è qualcosa che ci portiamo dietro dalla prima classe. Acquisire la capacità di manipolare e osservare i numeri è fondamentale per costruire dei ragionamenti logici. Si procede per relazioni e dimostrazioni sulla base di calcoli, di conoscenze e abilità.
Nell’esercizio “scompongo le frazioni improprie” abbiamo provato a scoprire cosa si cela dietro una frazione impropria svelando l’intero, o gli interi nascosti. Nel primo esempio, mostrato alla lavagna, abbiamo visualizzato la frazione impropria attraverso la classica immagine della frazione. 
Da questa abbiamo cercato di ricavare la scrittura scomposta arrivando alla soluzione ma scrivendo ancora l’intero in termini frazionari. D’altronde sappiamo bene che un intero può essere espresso in entrambi i modi (1 oppure due mezzi, oppure tre terzi… e via dicendo). Nel caso delle frazioni improprie dobbiamo ricordaci che gli interi avranno sempre il denominatore uguale a quello della frazione di partenza. Lo step successivo è stato quello di indicare direttamente l’intero con il numero intero e non frazionato. Questa semplice attività è stata svolta da tutti senza problemi coinvolgendo chi più e chi meno nella correzione e nei ragionamenti. Insomma: due esercizi per scaldare i motori!
Abbiamo poi giocato con le frazioni apparenti provando a trasformarle in numeri interi. Questo ci ha consentito di lavorare ancora con le strategie di calcolo (usando le divisioni) ma anche richiamando spesso alla memoria il concetto di divisore comune utile per semplificare le frazioni. I divisori li abbiamo visti lo scorso anno e ripassati anche in quinta ma torneranno presto alla grande quando vedremo la scomposizione dei numeri anche accennando anche al massimo comun divisore. Ma questa è un’altra storia. Per trasformare le nostre frazioni apparenti ricordo che è necessario dividere il numeratore per il denominatore. Quindi venti quinti non è altro che 20 : 4 ossia 5 interi. Ne propongo diverse alla lavagna, mentre loro lavorano sul quaderno calcolando e ricavando gli interi, e poi domando se tra queste notano delle differenze oppure delle similitudini. Cerchiamo con due colori differenti le frazioni che sembrano esprimere lo stesso valore. Come sono tra loro? Silvia alza la mano e risponde sicura che sono equivalenti. Proprio così! Ne discutiamo un po’ e andiamo a lavorare sul libro.
Quando stamane ci siamo incontrati, dopo una lunga e produttiva settimana, abbiamo ripreso il discorso lasciato in sospeso. “Come possiamo riconoscere le frazioni equivalenti?” Sicuramente come abbiamo sempre fatto: scomponendole ai minimi termini e confrontandole tra loro. Ma esiste un metodo più veloce che non mi costringe a dover cercare il divisore comune e poi dividere entrambi i termini della frazione? Certamente: basta moltiplicare a incrocio i due termini delle due frazioni considerate e se i due prodotti sono uguali significa che le due frazioni sono equivalenti. Facciamo subito la prova e verifichiamo con un semplice esercizio:
In questo esercizio ognuno ha l’opportunità anche di mettere in atto le strategie di calcolo orale acquisite nel tempo. Non conviene operare in colonna ma sfruttare quanto appreso per calcolare velocemente a mente e trovare subito la risposta. Oppure osservare bene i termini di ciascuna coppia e procedere addirittura senza calcolare: nella coppia 12/16 e 4/3 non abbiamo bisogno di trovare il prodotto visto che il prodotto di 16 e 4 sarà comunque maggiore di quello tra 12 e 3.
Ma non abbiamo finito! A inizio anno, soprattutto in vista delle prove in ingresso, avevamo fatto un excursus sul programma svolto in quarta e tra le abilità acquisite era emersa anche quella di saper calcolare la frazione di un numero. È stato facile ricordare immediatamente la regola che per calcolare la frazione di un numero basta dividere quel numero per il divisore e moltiplicarlo per il numeratore. Lo scorso anno in effetti abbiamo dedicato un bel po’ di tempo al calcolo della frazione di un numero concentrandoci anche su alcune situazioni problematiche. Per rinfrescarci ulteriormente la memoria e non vivere in maniera sterile e automatica il procedimento di risoluzione, impostiamo graficamente il tutto e ragioniamo sul significato di frazione di un numero. “Mettiamo che oggi siamo in 15 in aula e di questi 15 i 2/3 soffrano di mal di testa! Quanti bambini sono sofferenti?” Possiamo semplicemente calcolarlo facendo 15 : 3 = 5 che poi moltiplichiamo per 2 ottenendo 10. Quindi i due terzi di 15 corrisponde al valore numerico 10. Lo sapevamo fare e lo sappiamo ancora fare. MA aggiungo altra carne al fuoco: “Ma io posso risalire all’intero di partenza sapendo che 10 ne rappresenta i 2/3?” Ovviamente sì e la matematica ci dimostra che con il ragionamento e le strategie possiamo dimostrare anche il perché. Nel nostro caso scopriamo la formula magica e arriviamo anche alla conclusione che possiamo usare questo sistema come prova di verifica del calcolo precedente. Ecco come abbiamo lavorato:
Propongo una serie di calcoli mirati per consolidare la procedura e poi dividiamo il gruppo per lavorare in maniera differenziata. Io procedo con il gruppo più numeroso in aula e decido di potenziare le loro competenze con una serie di sfide a tutta LIM. Utilizzo il software sul Metodo Analogico (Matematica al volo in quinta) per proporre alcuni esercizi sul confronto tra frazioni che stimolano i calcoli e le semplificazioni ma soprattutto l’utilizzo di varie strategie risolutive. Alla LIM proietto gli esercizi ma alla lavagna nera ci confrontiamo sui ragionamenti non perdendo l’occasione di dimostrare, arrivandoci in diversi modi, le nostre scelte. Nel primo esercizio si tratta di individuare la frazione più grande della coppia proposta. Un compito per loro facile perché hanno già studiato, e lo abbiamo anche dimostrato e toccato con mano, che tra due frazioni con lo stesso denominatore sarà più grande quella che ha il numeratore maggiore. Quando invece confrontiamo due frazioni con lo stesso numeratore sarà più grande quella che ha un denominatore minore. Ma quando abbiamo denominatori e numeratori diversi? A questo punto ci mettiamo in gioco e andiamo a ragionare e sperimentare. Ma come? Semplificando e confrontando a partire dal significato espresso; rappresentando graficamente la frazione; dividendo numeratore per denominatore e ricavando valori numerici da confrontare. Ecco qualche esempio ragionato: 
Nell’ultimo caso hanno proposto di semplificare ma sono arrivati comunque a due frazioni con numeratorie e denominatori diversi quindi senza poter sfruttare le regole apprese. Allora hanno provato a ragionarci su: “Se ho un intero diviso in 4 parti uguali e ne prendo 3 di queste è come se le stessi prendendo quasi tutte. Mentre se l’intero è diviso in 3 parti e ne prendo 1… beh… sarà certamente inferiore come quantità rispetto alla precedente”. Rappresentando la cosa alla lavagna scopriamo che in effetti la prima frazione è più grande dell’altra per un pelo! Ma per essere proprio sicuri facciamo la prova del nove: se faccio 3 : 4 ottengo 0,75 mentre se faccio 1 : 3 ottengo 0,33 e infatti risulta essere maggiore sempre la prima.
Le strategie e i ragionamenti si fanno più succulenti con l’esercizio successivo: trovare quale sia la somma che vale di più. Vi giuro che senza nessuna spiegazione sono stati in grado di dare risposte velocissime… anche prima di me (che dopo due ore di lezione ero fusa). “Ragazze belle… e ragazzi belli… io me ne torno a casa: siete troppo bravi!”. Anche qui procediamo in modi diversi osservando sempre le frazioni, operando relazioni e calcolando in maniera mirata come nell’esempio accanto. Ovviamente i ragionamenti venivano scritti via via da me alla lavagna dettati da loro stessi (che lavoravano sino a quel punto solo oralmente e senza scrivere sul quaderno). Questo ha reso il lavoro meno pesante e più stimolante permettendomi di coinvolgere davvero tutti a turno in un crescendo di entusiasmo. Solo alla fine ci siamo dedicati al quaderno scrivendo le somme di frazioni per ricavarne anche degli interi ma sempre sviluppando gli stessi ragionamenti. Condivido con voi la pagina del quaderno e vi indico, in verde anche i ragionamenti emersi, che comunque non sono stati riportati nei quaderni dei ragazzi e delle ragazze proprio perché oramai acquisiti e utilizzati con spontaneità e cognizione di causa. Insomma: un gran bel lavoro e una grandissima soddisfazione per tutti.
PS: il percorso con le frazioni non è ancora finito… a breve ci occuperemo di frazioni applicate alle situazioni problematiche.
