Matematicando in classe quinta (4). Consolidamento numeri decimali, addizione e sottrazione

Dopo aver affrontato i grandi numeri ed averli classificati anche in base alle caratteristiche, ritorniamo ai numeri decimali (introdotti in terza con le frazioni e approfonditi in quarta anche in relazione alle quattro operazioni). Lavoriamo insieme concentrandoci soprattutto sul valore posizionale delle cifre e sul loro significato. Utile, in questa fase, richiamare alla memoria le attività svolte negli anni scorsi e ricordare anche il legame con quantità intere e frazionate (trovate tutto nel mio sito!). Mi aiuto molto con la lavagna disegnando interi che poi vengono frazionati a suggerire il riferimento alle parti decimali. Ricordo che un intero frazionato in 10 o 100 o 1000 parti uguali si rifà proprio al concetto di frazione decimale che si ricollega ai numeri decimali e al significato della virgola. La parte intera (quindi non frazionata) è quella espressa a sinistra della virgola mentre quella decimale (che si riferisce alla virgola) è quella frazionata in 10 parti uguali (per quanto riguarda i decimi), 100 parti uguali (a determinare i centesimi) e 1000 parti uguali (i millesimi). Un alunno mi chiede come si chiama la parte divisa subito dopo i millesimi. Ci ragioniamo un po’ su arrivando alla conclusione che possiamo definirla “decimi di millesimi” ossia un millesimo diviso a sua volta in dieci parti uguali. In realtà funziona sempre così: non facciamo che tener conto del punto di riferimento principe del nostro sistema di numerazione che è appunto decimale ossia ha sempre base 10. Faccio alcuni esempi sempre alla lavagna e con il costante richiamo degli alunni al posto sollecitati a rispondere o intervenire nominando le parti decimali e facendo sempre riferimento alle parti di intero divise.

Verifichiamo insieme se riusciamo a confrontare e ordinare i numeri decimali. Abbiamo imparato a farlo lo scorso anno ma è necessario riportare alla memoria questa capacità. In effetti sono contenta di scoprire che la stragrande maggioranza della classe è in grado di ordinare e confrontare i numeri decimali. Nonostante tutto facciamo qualche esercizio alla lavagna per “tirar fuori” la ragione che c’è alle spalle delle loro risposte. Per come imposto io le mie lezioni, è importante che i bambini esprimano a voce alta (condividendo con i compagni) ragionamenti e ipotesi. In matematica prendiamo coscienza e sicurezza di quanto sappiamo fare soprattutto nel momento in cui riusciamo a spiegarlo agli altri e quindi a noi stessi. Questo processo favorisce la metabolizzazione dei concetti e fortifica quanto appreso. Quindi, prendendo sempre come riferimento parte intera e decimale procediamo. Ricordiamo che prima è necessario confrontare la parte intera. Confrontare la parte intera è un gioco semplicissimo in quinta e quindi nel momento in cui confrontiamo con numeri tipo “34,56 e 46,01” tutti riescono a indicare il secondo numero come quello più grande e di conseguenza 34,56 < 46,01. Quando invece le parti intere sono uguali allora è necessario confrontare le parti decimali con ordine. Nei due numeri qui sotto operiamo così:

Il confronto tra le due parti decimali avviene in maniera spontanea perché 3 decimi sono di più di 2 decimi quindi, di conseguenza 2,3 è maggiore di 2,24. E se qualcuno dice che nella parte decimale del secondo numero però ci sono due cifre? Beh, allora dobbiamo ricordare loro che quel 2,3 è come se fosse un 2,30 in cui lo zero indica i centesimi e a questo punto, se consideriamo tutta la parte decimale possiamo confrontare 30 con 24 con il 30 che risulta ancora maggiore di 24 e confermando la nostra prima risposta. Ci esercitiamo con alcuni esercizi sul libro e poi sul quaderno propongo una serie di esercizi mirati sul calcolo veloce coi decimali con particolare riferimento al valore posizionale dei numeri (composizioni e scomposizioni) e proponendo giochi con sequenze numeriche (anche richiamando la sequenza numerica di Fibonacci appena vista in geometria). A destra la pagina del nostro quaderno.

Il nostro passaggio successivo è stato comprendere la regola che ci consente di arrotondare un numero per eccesso e per difetto. Lavoriamo dapprima sul libro e poi ci concentriamo con qualche esercizio mirato. L’arrotondamento è comodo soprattutto in alcuni casi. Chiedo ai bambini quando si è soliti arrotondare. “Maestra, credo che si arrotondi quando si deve pagare qualcosa! Invece di farci pagare 9 euro e 99 mettiamo direttamente 10 euro”. Sì, diciamo che coi soldi si tende talvolta ad arrotondare ma pensiamo anche a quando dobbiamo indicare delle lunghe distanze. Se dobbiamo fare un viaggio e chiediamo ai nostri genitori quanti chilometri dovremo percorrere difficilmente loro ci risponderanno 9 km e 77… con grande precisione ( e a noi non è neanche utile saperlo in maniera così precisa!) ma ci diranno circa 10 km! Ecco, quando diventa difficile essere precisi, o magari non è così importante, allora arrotondiamo. La parola CIRCA ci fa capire che si è operato un arrotondamento. Quando il numero viene decurtato allora si è arrotondato per difetto mentre quanto risulta maggiore si è arrotondato per eccesso. Ma come si arrotonda? Lo possiamo fare in vari modi ed è importante avere, anche in questo caso, dei punti di riferimento. Possiamo infatti arrotondare prendendo alle unità come alle migliaia… siamo noi a stabilirlo. Teniamo conto comunque della regola del 5. Se io ho il numero 23 469 posso arrotondarlo tenendo conto delle unità. In questo caso sono 9 (quindi maggiori di 5 e allora arrotondo per eccesso. Aggiungendo una unità porto le decine a 7 e quindi il numero a 23 470. Se arrotondo alle decine, stessa cosa. Il 6 è maggiore di 5 quindi arrotondo per eccesso e diventa 23 500. Se tengo conto delle centinaia invece arrotondo per difetto, essendo il 4 minore di 5) e quindi ottengo 23 000. Insomma, quando arrotondo la cifra, e le sue seguenti di riferimento vengono sostituite dagli zeri. La precedente diventa maggiore di uno se ho operato per eccesso o minore se ho operato per difetto. Ecco un dettaglio degli esercizi impostati sul quaderno per consolidare quanto fatto sul libro di testo.

La prossima settimana sarà dedicata al grande ripasso di addizione e sottrazione con un occhio di riguardo ai numeri decimali. Dalla verifica in ingresso mi son resa conto che è opportuno lavorare facendo attenzione all’incolonnamento delle cifre e tenendo conto delle regole introdotto lo scorso anno soprattutto nell’aggiunta degli zeri nella parte decimale quando si lavora con la sottrazione. Imposto le mie pagine sul quaderno di matematica ma la mia idea è quella di far recuperare ai bambini (consultando il libro) quanto già acquisito in quarta in particolare sulla prova, sulle regole di calcolo in colonna ma anche sul calcolo veloce con le strategie che fanno riferimento alle proprietà delle operazioni.

Ricordare in modo sintetico ma sistematico può essere utile per consolidare e completare le conoscenze matematiche. Insisto molto anche sull’uso appropriato del linguaggio matematico e chiedo loro di esprimersi sempre in maniera precisa indicando il nome preciso dei termini e del risultato. Nell’addizione è facile ricordare il termine addendo (suggerisce il fatto che si aggiungono) mentre nella sottrazione il primo termine, il minuendo, è quello che diminuisce mentre il secondo, il sottraendo, è quello che si sottrae dal primo. Ricordo anche le differenze di significato tra addizione e sottrazione, chiedo costantemente di osservare con attenzione sempre i numeri prima di operare con essi cercando di far sviluppare in loro la capacità di scegliere se lavorare in riga oppure in colonna. In base ai numeri con i quali abbiamo a che fare infatti possiamo capire se è possibile calcolare agevolmente in riga senza bisogno di ricorrere alla colonna. Su questo si basa anche l’importanza di conoscere (e saper utilizzare) le proprietà delle operazioni. Prima di concentrarci su questo aspetto però ritengo importante ricordare il valore dello zero sia nell’addizione che nella sottrazione. Nell’addizione infatti ha valore neutro (infatti addizionando uno zero all’altro addendo non accade niente… nel senso che il risultato sarà esattamente l’addendo diverso da zero) mentre nella sottrazione non possiamo affermare la stessa cosa. Infatti, se al minuendo tolgo uno zero questa condizione di neutralità è vera ma non il contrario. Nel caso in cui il minuendo è pari a zero e il sottraendo è un numero diverso da zero la condizione di neutralità non è più vera: il sottraendo non manterrà lo stesso valore.

Le proprietà delle operazioni sono state presentate in terza in maniera semplificata e approfondite in quarta con esercizi mirati e imparandole in modo da essere applicate. Perché è importante conoscerle? Perché ci facilitano i calcoli e ci consentono di evitare di andare in colonna, dico io. Dico sicuramente no alla memorizzazione a pappardella delle proprietà ma pretendo che si sappiamo spiegare e utilizzare. Imparare a memoria le proprietà ha senso solo se poi quelle parole imparare a memoria ci aiutano ad utilizzarle davvero o a spiegare i nostri ragionamenti nel caso in cui abbiamo adottato strategie di calcolo orale. Quindi? Quindi è importante conoscere le proprietà ma soprattutto capire quando e se utilizzarle.

Per l’addizione ricordano sempre facilmente quella commutativa (velocemente e facilmente verificabile) ma ancora fanno fatica ad utilizzare quella associativa e dissociativa. O meglio, ci sono bambini che le usano entrambi ma non ne hanno piena consapevolezza. Sono quei bambini che calcolano velocemente perché hanno fatto proprie le strategie sviluppare, per scoperta e allenamento, negli anni. In diversi casi le usano ma non sempre. Allora, con lo studio e l’applicazione delle proprietà il loro obiettivo deve essere quello di usarle ogni volta. Ecco perché, anche per loro (e non solo per chi ancora va in colonna anche per semplici calcoli) è importante consolidarle al meglio e fare esercizi mirati. Ricorda anche che le proprietà sono ancora più utili se le posso utilizzare insieme:

Per quanto riguarda la dissociativa (che è forse meno intuitiva) ricordo che è l’applicazione inversa di quella associativa ma non insisto più di tanto perché preferisco che ognuno applichi le proprietà che meglio sente nelle proprie corde. Preferisco invece fare in modo che le proprietà vengano utilizzate per tutto l’anno a livello orale, ogni volta chiederò di spiegare le strategie, in modo da esser consolidate e anche da essere suggerite a chi ancora ha difficoltà a farle proprie. Stessa cosa per la proprietà invariantiva della sottrazione che utilizzeremo in questa prima fase di ripasso come consolidamento di quanto appreso in quarta.

In questi mesi lavoreremo costantemente con le quattro operazioni ma è bene fare un ripasso generale proponendo anche calcoli solo coi numeri naturali ma soprattutto con quelli decimali, che riguardano:

addizioni con due e più addendi di vario tipo (con uno o più cambi);

sottrazioni con la presenza di uno più cambi successivi (anche alternati);

sottrazioni con la presenza di zeri al minuendo;

la verifica dei risultati con le prove.

Importantissimo, sia nella fase di ripasso che in quella di consolidamento, insistere sull’ordine e la precisione nell’andare in colonna tenendo sempre conto del valore posizionale delle cifre. Questo aspetto è infatti fondamentale in addizione ma soprattutto nella sottrazione quando è anche necessario aggiungere gli zeri nella parte decimale!

                   

Dopo aver ripassato addizione e sottrazione ci dedicheremo alla moltiplicazione e all’introduzione delle potenze.

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