Immaginate una cattedra piena di bottoni, stelle di feltro, regoli. Immaginate una classe che entra in aula e resta a bocca aperta. Il pensiero è uno solo “Cosa avrà in serbo per noi la maestra oggi?”. Tutti seduti, banchi liberi. “Maestra, non prendiamo il quaderno?“- “No, prima mi serve tutta la vostra attenzione… Dobbiamo utilizzare questi oggetti sulla cattedra e avrò bisogno di alcuni collaboratori e collaboratrici. Siete pronti?“. Da cosa iniziamo? Scelgono i regoli. Ok, prendo un regolo marrone, uno blu, uno rosso e 4 bianchi. Li dispongo in fila sopra la cattedra. Chiamo una bambina alla lavagna: “Quanti sono i regoli che ho disposto sulla cattedra?” Lei, dopo averli contati, risponde che sono 7. 
Troviamo un modo per rappresentare il tutto alla lavagna: traccio un grande insieme e disegno tutti i regoli scelti. Nomino l’insieme REGOLI e inserisco anche la quantità complessiva. “Questi regoli sono tutti uguali?” Rispondono no. “Ce ne sono alcuni uguali?” Dicono sì. “In cosa sono uguali?” Alcuni sono bianchi, rispondono prontamente. Allora mi giro alla lavagna e traccio una linea che circonda solo i regoli bianchi. “Ho segnato un sottoinsieme. Si tratta di un sottoinsieme più piccolo dentro quello grande ma tiene in considerazione solo quegli elementi che hanno qualcosa in comune“. Sembrano aver capito. “Come chiamiamo questo sottoinsieme?” Lo chiamiamo REGOLI BIANCHI e indichiamo la quantità 4. A questo punto voglio sapere quanti sono i REGOLI NON BIANCHI. Ricordo loro la lezione della settimana precedente quando abbiamo lavorato sulla parolina NON. Si trattata di capire il senso del non. Ad esempio, abbiamo disegnato una mela rossa e ho chiesto di disegnarne una non rossa. Non rossa significa qualsiasi colore tranne rosso. A questo punto conveniamo che quei regoli siano REGOLI NON BIANCHI ossia di altri colori. Quanti sono i regoli non bianchi. In questa fase è facile: basta contare. Ma presto scopriremo che esiste una operazione che ci aiuta in questo conteggio… quanto avremo a che fare con quantità maggiori (che non potremmo rappresentare con il disegno o contare una a una). Cerchiamo di capire come procedere. Conosciamo la quantità complessiva o totale di tutti i regoli? Certo, sono 7. Chiedo loro di osservare i regoli sulla cattedra e chiamo un aiutante. “Dai regoli totali, togli e porta lontano quelli bianchi. Quanti ne restano?” Facilmente conta i tre regoli rimasti. In questo caso l’uso delle parole TOGLI e RIMASTI è molto importante perché richiameranno, a breve, le parole della sottrazione. “Proviamo a scriverlo con una operazione? Ve lo mostro“. Mentre parlo scrivo. Sette è la quantità di tutti i regoli (scrivo 7) , da questa tolgo (scrivo il segno meno) la quantità dei regoli bianchi (scrivo 4) e mi restano i regoli non bianchi (scrivo 3). Abbiamo scoperto una nuova operazione con il suo nuovo segno: la sottrazione. Proviamo a verificare con le dita e contiamo: ho sette dita, ne tolgo (chiudendole) 4… quante me ne restano? I conti tornano. Verifichiamo anche con la linea del 20. Faccio presente che mentre con l’addizione andavamo avanti da sinistra verso destra (la quantità iniziale aumenta quindi mi sposto verso i numeri crescenti) con la sottrazione la quantità iniziale diminuisce quindi mi sposterò da destra a sinistra all’indietro verso i numeri decrescenti. E lo facciamo. Anche qui i conti tornano.
Continuo così con altri esempi. Chiamando alla cattedra ma inserendo un alone di mistero. Inserisco in una scatolina 8 stelle di feltro, in un’altra scatola più grande 10 bottoni e in una ciotolina 9 bottoni diversi dai precedenti. Scelgono la prima scatola. “Dentro la prima scatola ci sono 8 stelle. Cinque di queste sono azzurre. Secondo voi quante sono le stelle non azzurre?” Alcuni si prenotano subito e dicono 3! Andiamo a verificare: dentro la scatola ci sono cinque stelle azzurre, due rosse e una bianca. Le stelle non azzurre sono infatti 3. Disegniamo alla lavagna l’insieme e chiedo di trasformare tutto in operazione. Questa fase è delicata e non la diamo per scontata: molti calcolano “per addizione” ossia da cinque arrivano, aggiungendo, aggiungendo, sino a 8 quindi quando mi dicono 5+3=8 il ragionamento per me è chiaro ma non è proprio corretto. “Va bene, però ricordate che prima avevamo usato la sottrazione? Come la mettiamo? Ricordate che abbiamo tolto qualcosa da qualcos’altro?”. Un alunno si prenota: facciamo 5-3. Lo chiamo alla cattedra. “Il 5 cosa rappresenta? – Le stelle blu, dice lui. Le prendo e le metto da parte e chiedo cosa rappresenti invece il 3 e lui risponde “quelle non blu. “Bene, allora tu prova a togliere dalle 5 stelle blu… le tre stelle non blu. Lo puoi fare?”. Capisce che qualcosa non quadra: non si può proprio fare! “Bada bene, se io ti avessi detto… HO CINQUE CARAMELLE E NE RAGALO 3 A TE… posso sapere quante me ne restano? Prova con le tue dita”. Lo vedo contare e mi risponde 2. Questo si poteva fare utilizzando l’operazione che mi hai detto ma perché da 5 caramelle ne posso togliere 3… di quelle stelle caramelle. Quindi? Chiedo di osservare il disegno alla lavagna con le stelle nell’insieme e i numeri che abbiamo scritto (8 per tutte le stelle e 5 per quelle del sottoinsieme) e di usare, per scrivere l’operazione solo quei numeri… perché l’altro lo dobbiamo scoprire. Una bambina alza la mano: facciamo 5 – 8. La chiamo alla lavagna, le faccio mettere da parte 5 stelle azzurre e le chiedo di toglierne 8. Resta interdetta e mi dice che non si può fare. “Perché non lo puoi fare?” – “Non mi bastano, sono troppo poche”. Ecco, faccio io: ricordiamoci che non possiamo togliere una quantità più grande da una più piccola. Oddio, in quinta potremmo anche scoprire che 5 – 8 in realtà si può calcolare ma per ora non mettiamo troppa carne al fuoco. Stiamo comunque sempre operando con una quantità iniziale più grande di quella finale. Finalmente arriviamo alla soluzione 8- 5 = 3. Verifichiamo con le dita della mano e con la linea dei numeri. Continuiamo con le altre scatole: una contiene 10 bottoni, di questi 7 sono dorati. Quanti sono quelli non dorati? Si riesce a lavorare disegnando alla lavagna l’insieme e impostando il ragionamento. Passo di banco in banco per farmi dire all’orecchio quanti sono i bottoni non dorati. La maggior parte risponde correttamente, qualcuno non risponde, pochissimi rispondono un numero diverso da 3. Quando scriviamo l’operazione alla lavagna qualcuno ricorda che è spuntata anche la coppia amica del 10. Queste strategie di calcolo verranno sviluppate in seguito ma è bene rafforzarle da subito soprattutto se qualcuno ne ha già padronanza. L’ultimo esempio è quello dei bottoni nella ciotola: sono 9 di cui 3 grandi, quanti saranno i non grandi? Quale potrebbe essere una parola per sostituire NON GRANDI? Piccoli! Molto bene. Lavoriamo ancora così e poi finalmente apriamo, dopo un’ora, il quaderno.
Sul quaderno disegniamo l’insieme della frutta che contiene il sottoinsieme dei frutti rossi e poi l’insieme dei blocchi logici che contiene il sottoinsieme dei blocchi rossi e da calcolare quello dei blocchi non rossi. Ci aiutiamo con questo schema. Alla lavagna lo propongo senza inserire i dati: ci dovranno pensare loro in autonomia e riescono nell’intento. Infine scrivono anche l’operazione.
Lavoriamo anche con altri esempi e finalmente ci riposiamo: abbiamo lavorato sodo!
Il giorno dopo affrontiamo il discorso da un altro punto di vista: la parte complementare. Prima richiamo alla memoria quanto svolto il giorno prima con un esempio facile. Ma poi li spiazzo: “Ieri sera ho contato tutti i bottoni che ci sono nella mia scatola e sono 731! Di questi ben 321 sono bottoni piccoli. Secondo voi come facciamo a scoprire quanti sono quelli non piccoli?” Qualcuno dice che li possiamo contare ma io dico che lo voglio sapere subito, abbiamo tempo? Se disegno un insieme, come abbiamo fatto ieri… mi converrà disegnare i bottoni? Ovviamente è una follia. Allora scrivo così:
Ricordo loro che dobbiamo usare dati numerici che abbiamo. Arianna alza la mano e vorrebbe dire l’operazione ma non ricorda come si chiamano quei numeri grandi. Non importa, dimmeli cifra per cifra e io scrivo. Così mi dice “7 3 1 meno 3 2 1 =” Bravissima! A questo punto il conto lo faccio io e scopriamo che i bottoni non piccoli sono 410! “Questo per farvi capire che ciò che conta è il ragionamento e se sappiamo fare le sottrazioni non dobbiamo contare ma calcolare”. Sono molto soddisfatti e anche io. La parte che abbiamo scoperto si chiama parte complementare. Quella parte che dobbiamo scoprire che unità all’altra forma il totale. Lavoriamo sul quaderno, propongo un piccolo problema sul quale ragionare ancora con la parte complementare: Ci sono 8 ombrelli. Quelli chiusi sono 2, quanti sono gli ombrelli non chiusi? ILLUSTRA e RISOLVI. Ragioniamo sul testo leggendolo per bene, la domanda la scriviamo in rosso e poi proviamo ad illustrare. Lo fanno in autonomia, io imposto lo schema vuoto, loro completano e risolvono. Indichiamo la parte complementare e verifichiamo che la parte conosciuta (2) sommata a quella complementare da scoprire (6) ci fa arrivare al totale (8).
Con la sottrazione avevo lavorato più o meno così anche nel ciclo precedente e procederemo in questo modo già documentato cinque anni fa.
Che cosa manca…
Il prossimo incontro sarà la volta del “Che cosa manca” e si tratterà di andare alla ricerca della parte complementare. Prima di trafficare sul quaderno riprendiamo in mano le esperienze precedenti con oggetti e regoli per impostare il lavoro in maniera operativa e procedere con cognizione di causa. Proviamo semplicemente coi regoli. Loro ai banchi con alcuni regoli e io alla lavagna a trasformare tutto in operazioni e disegni. “Prendere un regolo da 9, quello blu. Se Metto sopra quello da cinque, giallo, quale altro regolo posso mettere per completare il muretto? Da 5 quanto manca a 9?” Stiamo ovviamente operando per complementari. Il numero complementare a 5 per fare 9 è il quattro. Ottenere una risposta non è difficile ma trasformiamo in operazione. Certo, sembra quasi inutile ma se io avessi avuto un regolone da 950 da formare con un altro da 730 e individuare l’altro regolo complementare? Ecco che l’operazione mi aiuta. In questi casi bisogna un po’ renderla comica e i numeri grandi attirano sempre l’attenzione. Se abbiamo trasformato in sottrazione 9 – 5 = 4 (quanto manca al cinque per arrivare a 9?) posso fare la stessa cosa anche con il 950 e il 730. Ecco perché dobbiamo iniziare a ragionare per sottrazioni. La dicitura “quanto manca” ricorre spesso e, sebbene con le dita si proceda a contare come se si eseguisse un’addizione (vediamo di contare aggiungendo sino ad arrivare al traguardo) dobbiamo subito far capire la differenza. Giochiamo coi regoli in questo modo per un po’ mentre poi trasformano in sottrazioni che io scrivo alla lavagna. Poi proviamo con gli oggetti. “Ognuno di voi prenda una quantità di bottoni a scelta ma minore di 4. Mettetela in un gruppetto a parte. Adesso io voglio che ognuno di voi abbia in tutto 8 bottoni. Quanti bottoni di mancano?“. Lascio il tempo di ragionare e contare e poi chiedo ad ognuno di avvicinare (ma senza mettere ancora insieme) la parte complementare per arrivare alla quantità stabilita. Infine chiedo ad ognuno di spiegare come ha ragionato e cosa ha dovuto aggiungere. Via via scrivo alla lavagna 8 (la quantità totale) – la quantità posseduta (diversa per ognuno) e = la parte da aggiungere ossia complementare da trovare. Chiedo anche di verificare. Come possiamo sapere se abbiamo calcolato bene? Certamente contando ma anche facendo la somma del primo gruppo di bottoni più il secondo gruppo. In questo modo iniziamo anche ad intuire che addizione e sottrazione sono operazioni inverse.
A questo punto possiamo lavorare sul quaderno e in autonomia. Imposto la pagina alla LIM e chiedo loro di completare come nell’esempio. Si tratta di disegnare, inserire le quantità e gli elementi e trasformare in sottrazione. Usiamo due colori diversi per discriminare la quantità iniziale (blu) e quella complementare da trovare (rosso). Anche nell’operazione facciamo attenzione ad inserire correttamente i colori di riferimento.
Tolgo da…
Ma la sottrazione si usa anche per calcolare cosa resta di una quantità iniziale da cui ne è stata tolta un’altra più piccola. Lavoriamo con situazioni problematiche orali che raccontano storie di vita vissuta. Io racconto, loro ragionano mentre disegno e poi calcolano. In questa fase lavoriamo con la linea dei numeri che ho costruito appositamente (non uso quella dove si è costretti a segnare i salti e che fa confondere ma una linea più agile in cui si sposta il dito avanti e indietro contando e può essere usata all’infinito). “Oggi sono arrivata a scuola con 10 adesivi colorati. Ne ho regalato 6 ad alcuni bambini che hanno lavorato molto bene. Quanti me ne sono rimasti?” Esempi come questo ne possiamo fare a centinaia. Proviamo ad inserire anche esempi in cui non abbiamo niente da togliere. “Oggi nel mio astuccio ci sono 7 penne colorate. Ne ho prestato 2 a Margherita che alla fine del lavoro me le ha restituite. Quante penne ho nel mio astuccio?“. “Per merenda Ludovico ha portato un pacchetto di crackers e 3 mandarini. Non ha mangiato nessun mandarino ma solo i crackers. Quanti mandarini gli restano?“. Se vogliamo sondare il loro livello di attenzione possiamo anche proporre “Oggi Mattia ha regalato ad Aurora 3 caramelle. Poi Michele regala ad Adele altre 2 caramelle. Quante caramelle ha ricevuto Adele?” per vedere se hanno individuato, questa volta, l’addizione anche se stiamo lavorando sulle sottrazioni. Possiamo giocare con gli oggetti anche questa volta: partiamo da un totale di oggetti, scriviamo alla lavagna e poi indichiamo la quantità da togliere e calcoliamo. Infine lavoriamo in autonomia sul quaderno. Propongo il modello alla LIM e loro dovranno completare calcolando a partire dall’esempio.
La differenza
Cosa significa fare la differenza? Apriamo un dibattito. Cosa significa che io e maestra Carlotta abbiamo 15 anni di differenza? Proviamo a capire se questa parola è di uso comune. A questo punto tiriamo fuori i regoli e il quaderno. Prendiamo il regolo 7 e il regolo 3. Che regolo di differenza hanno? Ossia, qual è la differenza tra il 7 e il 3? Di quanto è più grande il 7? E quindi di quanto è più piccolo il 3? Facciamo molti esempi e via via rappresentiamo sul quaderno per visualizzare ciò che stiamo facendo e trasformare in operazione. Alla fine della lezione possiamo dedicare qualche minuto ai problemi orali: “Ambra ha 8 fermagli per i capelli mentre Benedetta ne possiede 6. Quanti fermagli ha in più Ambra? Quanti in meno Benedetta?“.
Consolidiamo, nei giorni seguenti con operazioni in linea utilizzando gli strumenti a nostra disposizione come fatto per l’addizione. In questa fase è bene sperimentare con tutto e poi ognuno troverà ciò che gli è più congeniale. Anche questa volta dedicheremo una pagina del quaderno dedicata alla sottrazioni in cui schematizzeremo le informazioni base su questa operazione. Non ci resterà che fare esercizi, consolidare e giocare anche con le app sul mio ipad.
