Inutile dirlo: la divisione è l’operazione che ancora in quinta fa sudare freddo i miei alunni. Nonostante questo sia un anno di consolidamento e dopo averla comunque già ripassata ad inizio anno, molti alunni hanno dichiarato di non ricordare niente sul procedimento in colonna con la divisione a due cifre. Diversi di loro hanno manifestato vuoti di memoria anche con quella a una cifra al divisore! Dopo i miei primi minuti di panico 😉 e le rassicurazioni del momento… molti, una volta osservato con attenzione il mio procedimento alla lavagna, hanno ritrattato quanto affermato e iniziato a calcolare. Altri hanno avuto bisogno di vedere più esercizi e casi, ripassando con più intensità. Alcuni invece hanno continuato ad avere qualche difficoltà e incertezza nel procedimento per cui ho deciso di soffermarmi sulla divisione, in maniera intensa e con esercizi mirati su quaderno e LIM, per due settimane. È chiaro che la divisione a due cifre è quella che incute più timore. Molti di loro sbagliano pensando che debbano farla esattamente come dico io… che comunque ho proposto vari metodi. “Deve essere chiaro che ognuno procederà con il metodo che più ritiene congeniale, l’importante è riuscire a procedere e risolvere la divisione. In seguito, riuscirete a trovare il sistema più veloce ed efficace!”. Alcuni procedono spediti e non segnano neanche più il prodotto tra risultato parziale e divisore, inserendo direttamente il resto. Altri seguono la procedura del provare con un numero e poi, facendo il prodotto, verificare se il divisore ci sta tutto nelle cifre del dividendo considerate. Altri invece usano il metodo veloce, confrontando le cifre di dividendo e divisore e ricavando direttamente il resto. È certo però che il mantra deve essere uno solo: GUARDARE I NUMERI! Fondamentale osservare con attenzione i numeri considerati, stabilire relazioni, utilizzare strategie di calcolo semplificative. Alcuni lo fanno compiendo arrotondamenti, ricordando i doppi e i tripli di un numero, scomponendo il numero e poi operando ragionamenti logici fini. Tutto il lavoro svolto in questi anni si riassume all’interno della divisione. Purtroppo, non è trascurabile il livello di attenzione e concentrazione. Perché è pur vero che aver acquisito bene l’algoritmo di calcolo è fondamentale, come lo è l’utilizzo di strategie, ma se la concentrazione e l’attenzione non è al massimo il rischio di errore è dietro l’angolo. Insomma: la divisione è una bella gatta da pelare! Abbiamo lavorato concentrati per due settimane ma ci torneremo durante tutto l’anno con problemi, ripassi, esercizi misti.
Come per le altre operazioni ripassate, ho presentato la carta d’identità della divisione facendo lavorare direttamente loro sul quaderno a partire dal libro di testo e dalle mie indicazioni alla LIM. Ci siamo soffermati sulla divisione a una e due cifre al divisore con i numeri interi per poi passare anche a quelli decimali e ricordando le regole per gestire la virgola. Con il divisore decimale abbiamo dovuto chiamare in causa anche la proprietà della divisione, necessaria a “trasformare” il divisore decimale ad intero. La proprietà invariantiva infatti ci consente di eliminare quella virgola fastidiosa dal divisore ma dobbiamo ricordarci di operare le dovute modifiche anche al dividendo. È stato fondamentale approfondire i vari casi con una “palestra di divisioni” per sondare dubbi e incertezze persistenti. Ho predisposto una decina di casi da risolvere (con una o due cifre al divisore, con interi e decimali, con varie “tabelline”) e reso disponibili anche i risultati, in ordine sparso, come rassicurazione e possibilità di verificare subito. Quando tutti hanno risolto le divisioni ho chiamato alla lavagna chi aveva riscontrato difficoltà o ancora aveva dei dubbi. In questi casi chiedo sempre di dire a voce alta il procedimento perché è utile scoprire quali strategie vengono utilizzate e quali sono i passaggi critici. I compagni al posto possono dare aiuti o suggerimenti, se richiesti, e verificare i passaggi ma anche consolidare con l’ascolto le loro competenze.
In questo periodo è stato importante soffermarsi anche su qualche trucco che consente di operare con la divisione in modo semplice e veloce… senza dover “scomodare la colonna”, come dico io. Abbiamo scoperto, ma in alcuni casi ne eravamo già consapevoli, che un numero diviso per 1 ha un risultato uguale al dividendo stesso, che un numero diviso per 0,5 viene praticamente raddoppiato mentre un numero diviso per 0,2 è invece quintuplicato. Per curiosità abbiamo visto perché e come avviene questo curioso passaggio, riflettendo sullo 0 presente nel divisore e la parte decimale del numero. Ho proposto alcuni esercizi di CLOSE ad inserimento e consolidato ulteriormente con esercizi vari sia in aula che a casa.
Ovviamente, visto il periodo, in tutto questo calcolare ci siamo beccati il Fibonacci Day e così ho deciso di proporre un’attività di ripasso di questi due primi mesi di scuola. La mia classe conosce Fibonacci dalla prima perché ogni anno è stato un crescendo delle attività proposte. In prima avevamo letto la storia dello zero, quando vennero introdotti i numeri entro il 10, e poi anno dopo anno abbiamo cercato di conoscere un po’ di più il matematico Pisano. Vista da più angolazioni la famosa serie (anche quest’anno) e la sua sezione aurea, ho deciso di proporre un’attività diversa per il 23 novembre. Ho scelto un grande numero che appartiene alla serie di Fibonacci: il 28657. Su questo numero ho chiesto di compiere una serie di azioni legate al lavoro svolto proprio tra ottobre e novembre. Ho impostato il lavoro alla LIM, inserito via via le consegne e chiesto loro di operare in autonomia. In seguito è arrivato il confronto. Nelle prime attività (scrivi il numero in lettere, scomponilo in polinomi con le potenze, esprimilo coi valori posizionali, trova precedente e successivo, calcola la somma delle sue cifre) tutti hanno dovuto risolvere allo stesso modo. Nella seconda parte, invece, ci siamo divertiti a notare come ognuno ha trovato differenti soluzioni… qualcuno trovando strade semplici e altri azzardando qualcosa di più. È accaduto quando ho chiesto di esprimere questo numero usando un’addizione e una sottrazione. In quel caso è stato necessario trovare gli addendi chiamando in causa la sottrazione (operazione inversa) e trovare minuendo e sottraendo chiamando in causa l’addizione. Il lavoro è andato bene e ci ha fatto piacere scrivere alla LIM una parte delle infinite soluzioni. Per chiamare in causa la moltiplicazione ho chiesto se il numero potesse essere scomposto in fattori diversi da 1 o se stesso. È stato necessario riflettere sul significato della scomposizione in fattori e, dopo una serie di domande mirate, qualcuno ha ricordato che era necessario ricordare i criteri di divisibilità per scoprire se il numero in questione poteva essere diviso per numeri diversi da 1 o se stesso e trovare così i fattori. Lo scorso anno abbiamo iniziato a conoscere e iniziare a memorizzare i criteri di divisibilità quindi abbiamo proceduto insieme alla loro ricerca ma dopo un veloce confronto ci è sembrato chiaro che nessun divisore andava bene: si ottenevano per forza di cose numeri decimali. “Se un numero piò essere diviso solo per se stesso o per uno viene chiamato in un modo particolare. Vi ho accennato qualcosa lo scorso anno ma quest’anno approfondiremo l’argomento. Qualcuno si ricorda come possiamo definire il numero 28657?”. Una bambina alza la mano e risponde “Numero primo?”, esattamente! Nel nostro quaderno indichiamo quanto scoperto e passiamo alla divisione. È trascorsa un’ora intensa e quindi chiedo semplicemente di dividere il numero in questione in due parti uguali. Prima di risolvere chiedo se otterremo un numero intero o decimale. Oramai è chiaro: il numero in questione è dispari quindi il decimale è dato per scontato. E così è! Ultimo step della mattinata? Divertiamoci a creare qualcosa con questo numero. Lo scriviamo in grande a matita, cancelliamo la parte sopra, o quella sotto, e dai tratti rimasti sul foglio proviamo a disegnare qualcosa e salutiamo Fibonacci alla prossima avventura.
La divisione non ci abbandona ancora e così propongo altre attività con divisione in colonna e in riga. Nella lista di divisioni da risolvere inserisco sia quelle da fare in riga con le strategie e i trucchi (divise per 0,1 che è come moltiplicare per 10, divise per 0,01 che è come moltiplicare per 100, divise per 10-100-1000 con spostamento e/o inserimento virgola, divise per 0,5 e 0,2). Mi sembra che a distanza di dieci giorni le cose vadano decisamente meglio. Qualcuno è ancora un po’ lento… ma non importa. Abbiamo tutto l’anno scolastico per consolidare bene ogni operazione, divisioni comprese!
A conclusione del percorso propongo una tabella riassuntiva con le proprietà delle operazioni… che condivido anche con voi.
Ecco invece tutte le attività sulla divisione svolte in questi anni scolastici:
Matematicando in classe terza. (7) Un problema di realtà per introdurre la divisione.
Matematicando in classe quarta. (6) Consolidamento sulla divisione
Matematicando in classe quarta (7). La divisione a due cifre al divisore.
