Matematicando in classe quinta (12). Vi piacciono le frazioni?

Che bello! È arrivato il periodo delle frazioni: come ogni anno dalla terza arriva sempre. Non chiedetemi perché, ma da quando insegno ho maturato una passione per le frazioni che è cresciuta negli anni, classe dopo classe. Le trovo divertenti e stimolanti ma soprattutto mi permettono di ragionare con i miei alunni sviscerando tutte le loro competenze. E così, ieri abbiamo ripreso in mano le frazioni. “Ehi, non vi devo spiegare niente di nuovo. Vi accorgerete che la lezione oggi la guiderete voi”. In quinta infatti lavoreremo per ripasso. Lo scorso anno, in quarta, abbiamo affrontato la frazione da tutti i punti di vista: classificazione delle frazioni, frazione di un numero, frazioni e numeri decimali, frazioni e percentuali, frazioni complementari, semplificazione di una frazione, problemi con le frazioni (applicate anche alla geometria), piccoli calcoli con le frazioni. Insomma: quest’anno si ripassa!

“Si tratta solamente di togliere un po’ di ruggine: all’inizio vi sembrerà di non ricordare ma io vi dimostrerò che sulle frazioni niente vi può fermare!” ho detto a qualcuno che aveva bisogno di sentirsi rassicurato. Le due ore di matematica sono volate e la sensazione generale è stata proprio quella da me preannunciata: CON LE FRAZIONI SIAMO PROPRIO BRAVI! E più spuntavano fuori i concetti, i ragionamenti e i lampi di genio… più loro erano gasati. E la maestra pure. Abbiamo sperimentato, ci siamo confrontati, abbiamo fissato e ripassato i concetti chiave, abbiamo riso e ironizzato. E il tormentone della lezione è stato: “Allora, vi piacciono le frazioni?”

Le lezioni solitamente le costruisco così. Come mi disse un giorno una mia alunna “Maestra, certo non si può dire che non ti piaccia lavorare”, è vero… io vado avanti come un treno. Le due ore ce le viviamo intensamente ma insieme. Non sono io che faccio lezione, la facciamo insieme. Mi piace immaginarmi come un ibrido: un po’ direttore d’orchestra e un po’ cabarettista. Li dirigo e li faccio anche ridere. Impegno e leggerezza. Si sa, con il sorriso si impara meglio! La mia linea è chiara e oramai, a distanza di anni, credo di avere uno stile d’insegnamento abbastanza saldo e sicuramente riconoscibile anche dagli alunni. Ritengo che questo aspetto, dell’avere un saldo stile di insegnamento, sia importante. Attenzione, saldo non significa fisso nel senso che non prende in considerazione il cambiamento: guai! L’insegnamento è flessibilità. Necessariamente. MA lo stile deve guidare. Deve essere un punto di riferimento per se stessi e per chi ti segue da dietro i banchi. Per me questo è proprio il bello del mestiere che faccio e ci vedo dentro tanta creatività da esprimere.

Quando, come ieri, trascorro due ore di bella matematica con la classe (raccogliendo risconti positivi, vedendo sorrisi, cogliendo entusiasmo e ottime idee) rientro a casa soddisfatta e felice, con la sensazione di essere stata in grado di esprimere me stessa al cento per cento. Quando si crea una sintonia tra me e loro questo è possibile. E tutti ne abbiamo bisogno!

Per stabilire questo contatto, a inizio lezione, ho spiegato loro quanto mi piacciono le frazioni chiedendo anche se loro erano della stessa opinione. Erano incerti, ricordavano qualcosa… forse qualcuno ha accennato un sì ma nessuno si è sbilanciato. “Ve lo dimostro io allora che le frazioni non possono non piacere!” Così è iniziata la “MISSIONE FRAZIONE”.

Prima di tutto ho cercato di capire se le conoscenze pregresse ci avrebbero potuto aiutare. Io alla lavagna e loro tra i banchi, loro la mente e io il braccio (questo era l’intento). “Chi vuole aiutarci a togliere un po’ di ruggine su alcuni concetti e spiegare brevemente cosa s’intende per frazionare e frazione?”. Nessuno ha avuto difficoltà a ricordare che un intero è frazionato quando è diviso in parti uguali. Mentre ci si confrontava sono emersi anche termini come denominatore e numeratore ma ho notato qualcuno ancora incerto nell’individuarli sopra e sotto la linea di frazione. “Vi spiego un trucco per ricordare chi è l’uno e chi è l’altro”. Ho scritto alla lavagna un esempio ( ), disegnato anche l’intero frazionato e poi indicato con una freccia il 2 e il 5. “In quante parti è stato diviso il nostro intero?” – 5!- “Ok, quindi cosa possiamo affermare del numero che sta sotto la linea di frazione? Che informazioni ci offre?” – “Maestra, il numero di sotto ci indica le parti in cui è stato diviso l’intero” – “Solamente questo? Come leggete questa frazione?” – “Due QUINTI”. “Il due cosa indica?” – “Le parti considerate” – “E se io ne prendo tre?” – “Così diventa tre quinti”. “Benissimo, ma comunque rimangono sempre quinti?” – “Sì, perché è sempre diviso in 5 parti”. Perfetto… era proprio qui che volevo arrivare. Infatti faccio notare loro che il numero sotto ci indica anche il nome della frazione. Pensandoci bene la parola deNOMInatore dovrebbe suggerirci questo. Siccome sapete leggere bene le frazioni, adesso potete memorizzare che il denominatore è il numero sotto la linea della frazione che ci dice in quanti parti è stato diviso l’intero e ci suggerisce anche “il nome” della frazione. Conveniamo poi ciò che indica invece il numero che sta sopra la linea: le parti dell’intero frazionato che sono state prese in considerazione. Ossia il numero delle parti prese: il numeratore! Numerare infatti significa anche contare a uno a uno che è quanto facciamo per stabilire le parti considerate di quell’intero frazionato. Ora, nessuno dovrebbe avere più dubbi.

È importante usare una terminologia corretta. Se questi numeri hanno un nome ben definito dobbiamo cercare di usarlo. È molto più veloce e comodo dire “Mara portami il quaderno” piuttosto che dire “La bambina che si trova nella seconda fila a destra accanto al compagno con gli occhiali mi porti il quaderno”. Stessa cosa: “il denominatore è 5” piuttosto che “il numero che si trova sotto la linea della frazione è 5”. Meglio il primo caso! Molto più diretto, comodo e preciso.

Facciamo alcuni esempi alla lavagna per renderci conto che la memoria è ancora fresca e l’esperienza fatta negli anni precedenti non è stata vana. Poi scrivo alla lavagna queste frazioni:

“Osservate bene queste tre frazioni e iniziate a notare delle differenze o degli aspetti comuni”. Un bambino alza la mano e dice che la seconda frazione è impossibile perché sin sono prese più parti rispetto a quelle divise. Ragioniamo insieme e riporta alla memoria l’esperienza sondata nel precedente anno scolastico quando quattro amici, alle prese con la spartizione di un cioccolato formato da 3 quadrettini, arrivano alla conclusione che per accontentare tutti è necessario prendere un altro cioccolato. Ricordano l’esempio e afferrano subito il ragionamento. “Anche nel terzo caso il numeratore è maggiore del denominatore” azzarda uno. Ma una compagna gli fa notare che quella è diversa… ricordando qualcosa… ma non precisamente cosa. “Guardate la relazione tra numeratore e denominatore, cosa notate? E fate anche caso al significato delle linea della frazione… che divide numeratore per denominatore”. Ognuno di loro, dando piccoli contributi, conduce al ragionamento finale: i due numeri sono multipli ossia l’8 è divisibile per 4 e che se si divide si ottiene il 2, numero intero… quindi… due interi. È proprio così, rappresentiamo alla lavagna e verifichiamo ciò che avevamo già acquisito anche lo scorso anno: si tratta di una frazione apparente. Possiamo infatti esprimere in termini frazionari quantità intere. Faccio un esempio “Posso dirvi che l’altro giorno ho mangiato tre terzi di pizza o dirvi che ho mangiato una pizza… ma vi sto dicendo la stessa cosa! Magari nei tre terzi vi immaginate che io abbia preso la pizza dividendola in tre fette uguali e mangiandone prima una, poi l’altra e infine la terza. Oppure, nel secondo caso, ho preso una pizza intera e me la sono mangiata così!… cosa che vi sconsiglio di fare! … o comunque mangiato una pizza intera”. Rappresentiamo i casi analizzati e notiamo anche alcuni elementi interessanti:

Nella frazione propria viene espressa una quantità decimale ossia minore di un intero. In questo caso, prendendo in considerazione solo due parti delle tre non arriviamo all’intero quindi due terzi rappresentano in termini numerici un numero decimale come riferimento l’intero. Diversa è la questione se calcoliamo la frazione di un numero. Infatti se calcolo i due terzi di 18 otterrò comunque una quantità intera (che rappresenta una parte di quella considerata): 12. Nelle frazioni improprie invece ho bisogno di più interi. In questo caso notiamo come 5 diviso 2 corrisponda proprio al 2,5 ossia due interi più la metà. Nell’ultimo caso gli interi sono due come già evidenziato precedentemente nei ragionamenti.

Tiriamo le somme e cerchiamo di capire come classificare queste frazioni assegnando anche dei nomi: la terza è una frazione apparente, la seconda è impropria e la prima è la più classica, quella conosciuta già al nostro primo incontro: la frazione propria. Ci concentriamo sulle caratteristiche e poi propongo un classico esercizio di ripasso .

Detto le frazioni e loro inseriscono in tabella senza difficoltà. Al termine del lavoro iniziale, ci confrontiamo per correggere insieme e utilizzando ogni frazione come spunto per riflettere su altro. Tipo: “Qual è la frazione complementare di quella appena inserita?” E allora tiriamo in ballo il concetto di frazione complementare. Basta un piccolo disegno e la domanda “quanto manca a formare l’intero” e il gioco è fatto. Ho la piena conferma che il lavoro svolto l’anno scorso è stato un successo. Così sale l’entusiasmo. Quando chiedo “Che frazione hai inserito nella colonna delle frazioni proprie” e Filippo risponde deciso con “Ho inserito cinque settimi, infatti il numeratore è minore del denominatore, e la sua frazione complementare è 2 settimi”  – “Filippo, prendi le tue cose… prepara la borsa perché ti trasferisci direttamente alle scuole medie qui accanto. Sei pronto per il grande salto!”.   Dopo la soddisfazione di Filippo e le risate degli altri nel vedere il compagno fare la borsa, infilarsi il cappotto ed accennare ad andare in partenza… abbiamo continuato così in un sfida continua in cui ognuno cercava di tirar fuori delle vere e proprie perle matematiche! I numeri dettati non erano scelti a caso ma con l’intento di offrire ragionamenti. “Dove hai inserito 18/4?” – “Nella frazione impropria anche se si può semplificare” – “E come puoi essere sicuro che non è una frazione apparente visto che anche in quelle apparenti il numeratore è maggiore del denominatore?” – “Perché il 18 non è divisibile per 4 e quindi sono sicura che non otterrò un numero intero ma uno con la virgola… dividendoli“. Abbiamo semplificato otto sesti trovando il divisore comune (2) e ottenendo quattro terzi e verificando che resta comunque impropria MA ricordando anche che sono equivalenti. Ho chiesto di volta in volta a quanti interi corrispondessero quelle apparenti e loro prontamente hanno risposto spiegando anche la procedura: “Trenta terzi sono 10 interi, infatti se divido 30 per 3 ottengo proprio 10!“Alla fine ho detto “Basta, sapete tutto voi. Io qui sono di troppo… vi saluto. È stato bello conoscervi!” e con la manina che salutava ho fatto per andarmene nelle risate generali. E poi sono spuntata fuori dicendo “Ahh…Ahh… Vi piacciono quindi le frazioni?”  – SÌÌÌ!!!! – E allora: missione compiuta!

Abbiamo continuato a lavorare in questo modo con esercizi mirati e stimolanti da un punto di vista squisitamente logico e matematico. Ho proposto anche questo esercizio per focalizzare l’attenzione sul significato di frazione impropria:

Ci siamo aiutati con i colori indicando il verde per le parti in cui l’intero sarebbe dovuto essere diviso e il rosa per le parti considerate. “Per prendere 6 parti di 4, di quanti interi hai bisogno?” e così procedevano ragionando e lavorando sino ad acquisire completa sicurezza.

Abbiamo così semplificato le frazioni, verificato che possiamo trovare la frazione complementare sia delle frazioni proprie che di quelle improprie (diversamente da quanto affermato dal libro… che ci ha fatto venire il dubbio) e dimostrato passo per passo che poi alla fine i conti tornano sempre! Ed è proprio questo il bello della matematica no? Sembra quasi una magia.

Nelle prossime settimane procederemo in questo modo cercando di rendere il ripasso qualcosa di stimolante e non invece un meccanicismo schematico. Il nostro approccio continuerà ad essere questo e lo applicheremo a tutto ciò che verrà. Ma queste sono altre storie… che continuerò a raccontarvi… come faccio ormai da anni… sempre qui.