Dopo aver lasciato, ma solo temporaneamente, le frazioni e le situazioni problematiche ad esse applicate, riprendiamo un discorso lasciato in sospeso all’inizio dell’anno: estendere la conoscenza dei numeri all’interno dell’insieme dei numeri relativi. Ad ottobre infatti avevamo parlato del grande insieme dei numeri relativi e inserito al suo interno numeri naturali (interi e positivi), gli interi relativi (interi negativi) e infine il grande cerchio dei razionali che conteneva i precedenti ma anche frazioni e decimali positivi e negativi. Si era parlato per la prima volta di numeri relativi andando a citare i così detti negativi contrapposti ai positivi già noti. In effetti dalla prima alla quarta, era emerso, si è sempre lavorato con numeri positivi (dallo 0 in poi andando verso la destra… nella linea dei numeri) senza sentire la necessità di indicare il segno “+” davanti ad essi. Ma perché? Perché sino a quel momento non c’era stata la necessità di distinguerli da quelli negativi, con il segno “–” davanti e nella parte sinistra oltre lo 0. Ma in questi anni il significato di numeri positivi, maggiori allo zero, e negativi, inferiori allo 0, è emerso tante volte. Quando? Quando ad esempio abbiamo provato a fare sottrazioni il cui il minuendo era inferiore al sottraendo. Qualcuno diceva infatti “non si può fare” e poi io, ogni volta, ricordavo che “Per ora non lo possiamo e sappiamo fare… ma quando faremo la conoscenza dei numeri negativi scopriremo che si potrà e come!!!”.
L’affermazione che la sottrazione non ha sempre una soluzione (quando ad esempio minuendo è minore di sottraendo) infatti è incompleta in quanto risulta vera soltanto se si considerano i numeri naturali, mentre risulta falsa se il contesto in cui si opera è quello dei numeri relativi. Questi particolari numeri furono ideati in India nel V secolo d.C. nell’ambito della matematica finanziaria per descrivere i debiti e i crediti contrassegnanti con – e +. Vennero quindi collocati rispettivamente alla sinistra e alla destra dello zero sulla retta numerica. Dalla prima elementare ho sempre ricordato che prima o poi saremo andati a scoprire anche i numeri infiniti prima dello zero, quelli minori e detti appunto negativi. Questo argomento verrà poi sviscerato e approfondito alla scuola secondaria di primo grado, soprattutto per quanto riguarda le regole da seguire nei calcoli, ma è bene introdurlo anche nel primo ciclo affinché si crei consapevolezza della loro esistenza e del significato che si portano dietro.
All’inizio dell’anno avevo chiesto “Quando vi è capitato di vedere un segno meno davanti ad un numero?”. Molti risposero quando si va nel sotto piano con l’ascensore oppure quando in inverno le temperature vanno sotto lo zero e fa davvero freddo! Questa volta, per introdurre il concetto di numero relativo e imparare ad effettuare i primi calcoli prenderemo le bombole di ossigeno e andremo in fondo al mare. Mostro un’immagine in cui dall’Everest (con i suoi 8.855 metri circa sopra il livello del mare) si scende verso la fossa delle Marianne ( – 10 816 metri circa). Ho scelto Everest e Marianne per questione di numeri grandi ma soprattutto perché discutendo con i miei alunni, tempo fa, ho scoperto che sono dei veri appassionati di abissi marini e in particolare dei misteri legati alle Fosse della Marianne. Immaginiamo così si spingerci nelle profondità marine notando proprio come i livelli che emergono sopra il livello del mare (il nostro zero) si indicano con il segno “+” mentre quelli sotto il livello del mare vengono indicati con il segno “-”.
Al termine della conversazione introduttiva, fissiamo quanto emerso rappresentando una parte della linea dei numeri sul quaderno. Mentre sul libro troveremo la classica linea orizzontale, decido di far disegnare la nostra linea in verticale proprio per ricordare quanto introdotto precedentemente: altezze e profondità marine, ossia sopra e sotto il livello del mare.
Ovviamente ne indicheremo solo una porzione perché, sebbene in fondali marini come le altezze delle montagne abbiano un limite fisico, questo non accade per i numeri che, loro già sanno, sono infiniti sia a destra che a sinistra dello zero. Inventiamo una piccola storia per entrare nel vivo dell’argomento. “La nostra città, Cagliari si trova a 4 metri sopra il livello del mare (altitudine) ma se noi decidiamo di andare a passeggiare sul colle di Sant’Elia ci troveremo ad una altitudine di 139 metri. Rispetto a Cagliari quanto siamo dovuti salire di livello?”. Si tratta di un semplice problema di aritmetica che risolviamo facilmente con una sottrazione: 139 – 4 = 135. Siamo saliti di 135 metri. Dai 139 metri (altezza sopra il livello del mare e quindi positiva) dobbiamo scendere di 4 metri. È come se dicessimo dai + 139 metri togliamo (quindi andiamo sotto di) + 4 metri. Potremmo anche scrivere + 139 – (+4) = + 135. Ma non mettiamo troppa carne al fuoco. Facciamo semplicemente 139 – 4 come abbiamo fatto tante volte. Dal 139, con la linea dei numeri ci muoviamo verso il basso di 4 passi nella nostra linea dei numeri. Stiamo proprio scendendo. Viceversa, per andare dai 135 ai 139 dobbiamo muoverci dal 135 verso l’alto di 4 passi ossia 135 + 4 = 139. Facile: niente di nuovo sotto il sole. Abbiamo addizionato e sottratto numeri sempre positivi. “Ma cosa accade se decido di fare una bella escursione nei fondali marini del golfo di Cagliari… magari con il piccolo sottomarino “NemoSub” presente a Marina Piccola? Immaginiamo che sul molo ci troviamo al livello + 1 e una volta saliti sul sottomarino andiamo sotto di 2 metri. A quale livello siamo arrivati?”. Contiamo con la linea dei numeri scendendo verso il basso e arriviamo a un metro sotto il livello del mare. Abbiamo fatto +1 – 2 = -1 . Ma il sottomarino può andar ancora più giù di altri due metri. Qual è la profondità massima che può raggiungere? Facciamolo insieme: – 1 – 2 = -3! “E se decido di ritornare a Cagliari all’altitudine iniziale? Come procedo?” Siamo a -3 e dobbiamo arrivare a + 4 quindi proviamo a contare. Dobbiamo salire di + 7! Infatti, – 3 + 7 = + 4! A questo punto tutti sono in fibrillazione perché pensano di aver svelato l’arcano e di aver capito che calcolare non è così difficile. Si entra nel campo delle intuizioni ma anche dei ragionamenti. Proviamo così a tirare le somme.
Studiando a questo punto la linea dei numeri notiamo e ricordiamo che:
- I numeri preceduti dal segno + si trovano oltre lo zero, quindi sono maggiori in ordine crescente verso destra (e nel nostro caso verso l’alto) e sono detti POSITIVI;
- I numeri preceduti dal segno – si trovano prima dello zero, quindi sono minori in ordine decrescente verso sinistra (e nel nostro caso verso l’alto) e sono detti NEGATIVI;
- Lo zero non ha segno ed è detto neutro, separa i positivi dai negativi;
- Deduciamo che un numero negativo è minore di zero e uno positivo è maggiore di zero.
Ma come li confrontiamo tra loro? Con i numeri positivi non abbiamo problemi ad operare confronti: lo sappiamo fare dalla classe prima e siamo diventati via via più abili (lo sappiamo fare coi numeri grandi e piccoli, coi decimali e gli interi ma anche con le frazioni). Con i numeri relativi si procede nel seguente modo: prima si prendono in considerazione due numeri che portano lo stesso segno e in questo caso li chiamiamo concordi. Quindi: + 7 è maggiore di + 5 ossia + 7 > + 5. Se i numeri relativi sono negativi invece è maggiore quello che è più vicino allo zero (cioè la cifra minore) e di conseguenza è minore quello più lontano dallo zero. Si rendono infatti subito conto che pian piano che più un numero con segno negativo è grande minore sarà il suo valore. Possiamo fare un esempio con le temperature (più alta e più bassa): a – 7 la temperatura è più bassa che a – 5. Infatti -7 < -5.
A questo punto ci mettiamo all’opera coi i primi calcoli. Lavoriamo con calcoli semplici e via via scopriamo come lavorare aiutandoci prima con la linea dei numeri e poi procedendo in autonomia utilizzando le strategie intuite e le regole in acquisizione.
Il passaggio successivo, di consolidamento e rinforzo, sarà quello di affinare il calcolo anche con i numeri più grandi e quindi senza fare ricorso alla linea dei numeri. Per farlo mi aiuto con una semplice sequenza di addizioni e sottrazioni che dovrebbe facilitare l’utilizzo di strategie. Infine, strizziamo l’occhio a la contabilità e da ragioniera programmatrice quale sono rispolvero le vecchie partite doppie usate quando studiavo alle superiori o lavoravo in banca (ebbene sì… molti e molti anni fa lavoravo in banca!… ma odiavo quel lavoro e quindi l’ho mollato per fare la maestra).
Nei giorni successivi proporrò poi altri esercizi di consolidamento sul confronto dei numeri relativi, sul metterli in ordine crescente e decrescente, sui calcoli e magari qualche semplice situazione problematica. Ma per ora è veramente tanto ciò che abbiamo fatto!
Il mese di marzo sarà dedicato al consolidamento di numeri relativi, criteri di divisibilità, multipli e divisori e… una bella verifica di fine bimestre.
Aprile invece sarà il mese del grande ripasso con la compravendita, l’euro e le percentuali che ci daranno l’opportunità di rivedere tutto il lavoro svolto quest’anno e consolidare per bene quanto appreso negli anni scorsi.
Lavoro molto interessante. Lo proporrò nella mia classe.
Grazie!!!