Ogni settimana abbiamo dedicato un’ora alla geometria sin dall’inizio dell’anno scolastico. Le attività variano di volta in volta e in base alle necessità o curiosità emerse. Abbiamo consolidato quanto appreso in quarta (poligoni, figure geometriche, area e perimetro e relative formule), sviluppato percorsi di osservazione delle figure, sperimentato con il disegno geometrico e introdotto i primi problemi geometrici con le frazioni.
Nell’ultima lezione ho riproposto il tangram ma in maniera nuova. In questi anni abbiamo giocato con il tangram varie volte, sia in forma cartacea che alla LIM con appositi software, ma questa volta ho deciso di utilizzarlo in maniera diversa. Ho chiesto loro di costruirlo in autonomia a partire dalle caratteristiche del modello proiettato alla LIM e trovando il percorso migliore per far sì che venisse perfetto, e quindi utilizzabile. Ho dato loro un foglio di carta bianco formato A4 e utilizzando gli strumenti necessari (righello e squadrette, goniometro, matita, intuizione, capacità di osservazione e buona volontà) si son messi all’opera. Per poter costruire il tangram è necessario procedere stimolando il pensiero computazionale: trovare una serie di istruzioni in sequenza che consentono di arrivare al risultato. Ad esempio, trovare il sistema migliore per ricavare un quadrato con lato di 12 centimetri da un foglio rettangolare A4. Una volta creato il foglio di lavoro quadrato bisognerà poi capire quali linee tracciare per prime per poter ricavare le figure all’interno del tangram rispettando angoli, lunghezze dei lati e proporzioni. Insomma, per costruirlo è fondamentale mettere a punto tutte le competenze e le conoscenze acquisite in questi anni sia da un punto di vista geometrico che grafico. La maggior parte di loro riescono a portare a termine il lavoro in maniera più che soddisfacente. Valuto questa attività con grande attenzione, prendendo le misure dei lati e l’ampiezza degli angoli ma facendo anche caso al tratto di matita e alla precisione dei vari passaggi. Solo pochi alunni non sono riusciti a portare a termine il lavoro ma questo non costituisce un problema, anzi… ci consente di lavorare in un secondo step.
La volta dopo propongo di ritornare ognuno sui propri passi e capire cosa è andato storto e cosa invece è andato bene. Chiedo ad ognuno di ritagliare il proprio tangram e provare a giocarci: è possibile comporre un quadrato con i due triangoli isosceli (sia con i piccoli che con i grandi)?; i piccoli triangoli si sovrappongono perfettamente al quadrato piccolo?; si riesce a coprire il romboide con i due triangoli piccoli?; con il triangolo medio e i piccoli, è possibile ricoprire uno dei due triangoli grandi? Ecco alcune delle consegne che ci consentono di riflettere insieme sulle caratteristiche delle figure studiate in questi anni ma allo stesso tempo di valutare il lavoro svolto. Ognuno di loro deve fare i conti con quanto ha prodotto. Una volta fatto questo chiedo di evidenziare le criticità incontrate e provare a trovare insieme delle strategie per “risolvere i problemi emersi”. Chi ha avuto difficoltà prova a trovare dei passaggi validi e delle soluzioni ottimali mentre chi ha lavorato bene, sin da principio, condivide la propria strategia e offre consigli. A questo punto non ci resta che riprovare. Propongo, agli alunni con il tangram corretto, una serie di attività creative proposte nel sito Mathigon (che consiglio vivamente). Chi non possiede invece quello “utilizzabile” decide in autonomia, e facendo tesoro di quanto emerso in fase di correzione e condivisione, di farne uno nuovo. In questo modo l’errore diventa occasione di crescita e apprendimento. Infine, ognuno procede all’autovalutazione del proprio operato.
La volta dopo, lasciandoci alle spalle il tangram e prima di introdurre i poligoni regolari, decido di proporre una riflessione sui quadrilateri. Infatti alcuni di loro si confondono ancora quando vedono un quadrato sistemato a mo’ di rombo e continuano a classificarlo come rombo. Questo nonostante l’approccio avuto dalla prima: non disegnare solo figure geometriche nella “maniera classica” (triangoli con il vertice verso l’alto o rettangoli con il lato maggiore ben poggiato alla base, ecc.) ma proporre invece rotazioni e traslazioni delle stesse in modo da non incappare in errori. Per spazzare via ogni dubbio mi aiuto con un semplice diagramma di Eulero-Ven.
Lo osserviamo insieme e, avendo una certa esperienza nella lettura di questi diagrammi, procediamo alla comprensione collettiva. Tutti sono concordi nello stabilire che si tratta di un insieme che classifica i quadrilateri. Ma procediamo con calma perché al suo interno ci sono una serie di sottoinsiemi e intersezioni che hanno dei significati ben precisi. Velocemente ricordiamo cosa s’intende per sottoinsieme e quale rapporto viene stabilito dalle intersezioni. Il sottoinsieme è contenuto da un insieme più grande che ha caratteristiche comuni mentre l’intersezione mette in evidenza che alcune caratteristiche sono comuni ad un insieme ed un altro ma non tutte, solo alcune. Partiamo proprio da qui: “Perché i quadrati sono classificati in modo che siano inseriti nell’intersezione tra rettangoli e rombi?” – Per rispondere dobbiamo richiamare alla nostra attenzione le caratteristiche dei quadrilateri. Che particolarità ha il quadrato? – Ha lati e angoli uguali. – È l’unico quadrilatero ad avere questa caratteristica? È proprio così. “Il quadrato ha qualcosa in comune con i rettangoli?” Qualcuno ricorda che il quadrato è un rettangolo “speciale” infatti come il rettangolo ha 4 angoli retti pur avendo però i lati tutti uguali. Qualcuno dice che il quadrato ha in comune con il rettangolo proprio gli angoli. Infatti, la definizione di rettangolo dice che una figura per essere tale deve avere lati paralleli e tutti gli angoli retti (proprio come il quadrato). “E cosa mi dite del rombo? Trovate punti in comune?” In effetti il rombo ha angoli acuti e ottusi ma ha tutti i lati della stessa misura! Allora possiamo dire che il quadrato è anche un rombo “speciale” ma con tutti gli angoli retti. “E il rombo può essere un quadrato?” – No, perché gli angoli sono diversi. Si definisce rombo quella figura geometrica piana formata lati paralleli e congruenti (come il quadrato) ma con la differenza che il quadrato per essere tale deve avere necessariamente sia i lati congruenti che gli angoli retti. Motivo per cui un rettangolo non può essere un quadrato: i suoi lati non sono tutti congruenti.
Ma osservando ancora la figura notiamo che quadrati, rettangoli e rombi sono inseriti nel grande insieme dei parallelogrammi. Perché? Arrivano velocemente alla soluzione: hanno i lati paralleli. Fuori dai tre sottoinsiemi ci sono anche altri parallelogrammi che, a differenza dei precedenti analizzati, hanno sì i lati paralleli ma lati uguali a due a due. Inoltre, ricordo che in un parallelogramma:
- Ogni diagonale divide il parallelogrammo in due triangoli congruenti (lo verifichiamo con i tangram)
- I lati opposti sono congruenti
- Gli angoli opposti sono congruenti
- Le due diagonali si dimezzano, cioè si intersecano nel loro comune punto medio.
Chiedo di verificare sul quaderno disegnando alcuni parallelogrammi tra cui rettangolo, quadrato e rombo. I conti tornano.
Non ci resta che tirare le conclusioni osservando proprio il nostro insieme: “Possiamo dire che i quadrati sono trapezi? Possiamo sostenere che i rettangoli sono trapezi? E i parallelogrammi e i rombi?” Dalla rappresentazione si direbbe di sì ma capiamo perché. Siamo tutti d’accordo che rettangolo, quadrato e rombo sono parallelogrammi quindi teniamoci a mente proprio questa conclusione senza dover scomodare ogni volta le figure analizzate. Qual è la definizione di trapezio? Si dice trapezio un quadrilatero avente due lati opposti paralleli. E allora ci siamo proprio! Perché tutti i parallelogrammi hanno almeno due lati opposti paralleli (visto che tutti e 4 i lati, non consecutivi, sono paralleli tra di loro). Di contro non possiamo dire che i trapezi siano anche parallelogrammi perché l’avere solo una coppia di lati paralleli non ne soddisfa la condizione e inoltre i trapezi non hanno i lati congruenti. Possiamo anche verificare se le diagonali dividono la figura in due triangoli congruenti e via di seguito… a ragione che proprio non possono essere parallelogrammi! E le figure rimaste fuori da tutto? Sono anche loro figure con 4 angoli e 4 lati ma, non soddisfando le condizioni necessarie per essere trapezi, parallelogrammi, rettangoli, rombi e quadrati, sono detti semplicemente quadrilateri.
Per consolidare quanto appreso e scoperto ci concediamo una giornata di svago e “studio particolare” perlustrando il sito Mathigon e approfondendo i quadrilateri con una serie di attività di consolidamento sino ad arrivare ad introdurre i poligoni regolari. Ecco una parte della home page di Mathigon che vi consiglio di visitare:
