#CLASSEPRIMA MATEMATICA (11). Raggruppamenti, decina e via sino al 20… passando per il codice binario!

Consolidato sottrazione e addizione con una serie di problemi per immagini, verificato che la sottrazione sia stata assimilata e che nessuno sia rimasto indietro… arriva finalmente il momento di procedere oltre: i numeri sono al 20.

Come vi avevo raccontato nel precedente ciclo, anche questa volta lavoreremo in maniera operativa iniziando a raggruppare quantità di oggetti e segnando sull’abaco le nostre considerazioni. Non utilizzeremo il nostro tempo a compilare schede già pronte ma focalizzeremo la nostra attenzione sull’esperienza concreta di raggruppamento: raggruppare per due, tre, quattro e così via… ci porterà a scoprire il concetto di decina. Abbiamo comunque già parlato di decina come raggruppamento di dieci elementi ma questa esperienza ci servirà per parlare di sistema decimale e di come esso funzioni. Colgo l’occasione per parlare anche del sistema binario… ed è proprio di questo che vi voglio parlare questa volta. Per le lezioni che riguardano i raggruppamenti, l’introduzione al concetto di decina e la formazione dei grandi numeri vi rimando infatti al mio vecchio post perché non cambierò di molto la mia impostazione. Diciamo che per questo giro apporterò solo qualche variante e arricchimento con il sistema binario (argomento trasversale anche ad informatica).

Procediamo per piccole tappe. Iniziamo a comprendere cosa significa raggruppare: possiamo farlo raggruppando alcuni bambini e alcune bambine in modi diversi, tanto per iniziare. Sicuramente conoscono questa parola ma dobbiamo capire come ci può tornar utile con la matematica. Mi preparo alla LIM uno schema che ci servirà per raccogliere tutte le nostre esperienze e iniziare a raccontare graficamente, con l’abaco e con i numeri quanto sperimentato con le bacchette di legno (come vi ho raccontato nel post a cui vi ho rimandato prima).

Si tratta di prender dimestichezza con l’operazione di raggruppamento e iniziare a ragionare per unità. Di tutti i raggruppamenti operati ci concentreremo infine solo sulla decina perché il nostro sistema numerico utilizza la base dieci. Ma cosa significa? Beh, basti pensare che per formare tutti gli altri numeri oltre il 9 dobbiamo utilizzare 10 cifre combinate tra loro! Con esse è possibile scrivere tutti i numeri che ci vengono in mente. Quindi se io voglio comunicare a qualcuno che nella mia libreria ho trecentoventisette albi illustrati potrò scrivere questa quantità utilizzando la combinazione di tre cifre che sono 3, 2 e 7 prese esattamente in questo ordine e la cui posizione mi indica un’informazione precisa: 3 sono le centinaia (sono 300 unità), 2 sono le decine (sono 20 unità) e infine 7 sono le unità rimaste fuori dai raggruppamenti. Se potessi infatti avere il tempo e anche la voglia di raggruppare per 10 quei 327 libri dovrei formare 32 gruppi da 10 e lasciare sempre i 7 libri. In questo modo affascinante scopriremo come si formano i numeri: una convenzione non da poco che ci consentirà di giocarci per cinque anni e proseguire oltre negli anni che verranno. Quest’anno ci fermeremo al 20 ma il ragionamento sarà sempre lo stesso (e ve l’ho raccontato in questi anni nel resoconto delle mie attività in classe). L’obiettivo di questo anno è imparare a pensare i numeri in modo dinamico ed elastico perché è proprio da questo che poi si impara ad utilizzare strategie di calcolo veloce e… anche ad amare i numeri.

Sorvolando su quanto vi ho già raccontato nel famoso post, inizio a riflettere sui raggruppamenti per 2. Abbiamo infatti imparato a raggruppare anche per duine (ossia raggruppamenti da 2) e registrare con l’abaco con l’asta piccola (vedi immagine sopra). Le 14 bacchette le abbiamo raggruppate in 7 gruppi da 2 e nessuna unità. Però la base due, come raggruppamento diverso da quello che usiamo noi per comunicare (la base 10), è molto affascinante e curiosa perché ci conduce nel mondo dell’informatica e dei computer. “Dovete sapere che i computer comunicano attraverso un codice speciale e grazie a questo codice riescono anche a decifrare le nostre istruzioni“. Ci è già capitato di parlare di istruzioni e di algoritmi (in maniera molto semplice per ora e utilizzando la piattaforma code.org per introdurre il pensiero computazionale e il coding) e abbiamo intuito che il computer comunica in maniera diversa da noi. Per farlo utilizza soprattutto un codice fatto di numeri. Questo codice si chiama codice binario. “La parola BINARIO vi fa pensare a qualcosa in particolare?” Qualcuno tenta un “i binari del treno” e in effetti non ci siamo allontanati tanto se pensiamo che i binari sono sempre 2! Il codice binario infatti è un codice numerico che usa solo due numeri combinati insieme tra di loro: sono lo 0 e l’1. Ma riflettiamo un attimo sul nostro modo di “comunicare”: noi usiamo le lettere dell’alfabeto (con 26 caratteri diversi che combinati tra loro formano le parole) e i numeri (10 cifre da 0 a 9 che combinate tra loro possono esprimere infinite numerosità). Concentriamoci sui numeri però. Abbiamo scoperto che il nostro sistema è detto decimale, infatti utilizza raggruppamenti da dieci per formare i numeri e, inoltre, usa esattamente 10 numeri in tutto per formarne infiniti. Il codice utilizzato dal computer invece utilizza solo due numeri e con questi riesce a comunicare qualsiasi cosa. Lo fa in maniera speciale e particolare. Provo a spiegare velocemente questo sistema. Questa volta non mi è necessario parlare di concetti difficili (come la scomposizione in polinomi o le potenze del 10 e del 2… ci si arriva in quinta e alle scuole medie) ma voglio solo creare un po’ di curiosità. In aula ho portato anche un gioco che ci aiuterà ad esplorare la logica del codice binario: RAMI code.

Ragioniamo facendo un confronto con il “codice” a base 10, il nostro sistema decimale. Osservate questa immagine che racconta brevemente ciò che ho schematizzato per sviluppare in classe la lezione (schema che non ho usato con loto ma che ho utilizzato solo per ragionarci su):

Da una parte abbiamo il nostro sistema decimale che utilizza le 10 cifre da 0 a 9 per comporre tutti i numeri. Graficamente possiamo mostrare cosa accade coi raggruppamenti e partendo anche dall’esperienza precedente con bacchette e abaco. Per formare i numeri prendo in considerazione il riferimento posizionale e, ad esempio, raggruppando una quantità di 12 elementi ottengo un gruppo da 10 (una decina) e restano fuori i due elementi (le 2 unità). Il sistema binario invece opera in maniera diversa perché utilizza raggruppamenti a base 2 (in maniera esponenziale ossia procede in maniera crescente utilizzando le potenze con base 2: 2 elevato 1 ossia 2, 2 elevato 2 ossia 4, 2 elevato 3 ossia 8 e così via) che in questo momento è inutile spiegare in termini matematici ai bambini (questo argomento potrà esser ripreso magari in quinta con le potenze). Ma come traduciamo il codice? Partiamo dallo zero che avrà comunque valore numerico 0. Per indicare lo 0 uso lo 0 (o se voglio utilizzare sempre la stessa quantità di cifre, come nell’esempio, posso anche scrivere 0000 (che mi è comodo quando giocheremo a Rami che utilizza un codice da quattro cifre). Per l’1 invece utilizza proprio il valore 1 (con il Rami usiamo il codice 0001). Ma il problema sorge per il 2. “Come posso comunicare al computer la quantità 2 se uso solo i valori 0 e 1?” Andiamo a scomodare i raggruppamenti. Come si nota in figura con la quantità 2 posso avere un raggruppamento da 2 e non resta fuori neanche un elemento singolo. Allora il 2 in codice binario diventa 10 ma se uso un codice da quattro lo esprimo con 0010. Il 3 per ovvie ragioni sarà 11 ma anche 0011. Con il 4 le cose cambiano perché 4 è il quadrato di 2 quindi inizio a raggruppare per 4 e ottengo 1 gruppo da 4, 0 gruppi da 2 e 0 unità (con il codice da quattro cifre uso 0100). Vedete bene che si prosegue sempre allo stesso modo: quanti gruppi da quattro? quanti gruppi da 2…ecc. Perché il 10 lo esprimo con codice 1010? Perché ho 1 gruppo da otto, 0 gruppi da quattro, 1 gruppo da due e 0 unità. A questo punto il numero 14 in codice binario sarà questo:

Con i bambini e le bambine ci arrivo anche in maniera diversa e sul quaderno. Dopo aver raggruppato in vari modi ed essere approdati all’abaco coi raggruppamenti da 8, 4, 2 e 1 (immagine sopra) andiamo sul quaderno. Proviamo a scoprire il codice segreto partendo dalle domande chiave e ricordando che il codice binario utilizza solo i simboli 0 e 1. Partiamo dallo 0: quanti gruppi da 8 riesco a formare? Quanti gruppi da 4 riesco a formare? Quanti da 2? Quanti unità restano fuori? La risposta è 0000. Ecco il codice binario per esprimere lo 0 (ci basta questo a 4 cifre). Proseguiamo con l’1, il 2 e il 3 ponendoci sempre le stesse domande. La procedura è: scrivere il numero; disegnare con i pallini la quantità corrispondente; farci la domanda del gruppo che riesco a formare (riesco a formare un gruppo da 8? NO, allora segno 0 e mi chiedo se posso formarne uno da 4? NO, allora segno 0 e mi chiedo se posso formarne uno da 2? SÌ, allora segno 1 e mi domando se c’è un’unità fuori dai gruppi. , SÌ, e segno 1. Per il 3 il codice è 0011). Ma con il 4 le cose cambiano e riusciamo a capire perché devo ricorrere sempre a raggruppamenti diversi (a base 2 e le relative potenze). Ecco una parte del lavoro sul quaderno:

Chiedo alla classe come posso raggruppare il 4 e qualcuno risponde a gruppi di 2. Non lo fermo ma chiedo di riflettere insieme. “Ok, allora segno che abbiamo 0 gruppi da otto, 0 gruppi da quattro e… quanti gruppi da due?” Risponde che sono 2 e lo scrivo ma chiedo attenzione: “C’è un problema, il computer può leggere e capire il simbolo 2? Quali simboli siamo costretti ad usare?” e li capiscono che quel 2 proprio non possiamo scriverlo. E così capiamo che dobbiamo raggruppare per… quattro! E così infatti il codice è chiaro: 0 (gruppi da otto) 1 (gruppi da quattro) 0 (gruppi da due) 0 (gruppi da uno).

Chiedo di proseguire un po’ da soli e un po’ insieme. La sfida è trovare il codice giusto. Qualcuno capisce il meccanismo e ci prende gusto, qualcuno annaspa. In questa fase a me serve capire: 1) chi riesce a raggruppare correttamente; 2) chi utilizza strategie e logica per trovare il codice; 3) chi riesce a spiegare come ha ricavato il codice argomentando davanti alla classe. Ricaviamo i numeri sino al 10.

Come possiamo verificare la corrispondenza? Ma giocando. Verifichiamo con il Rami. Se le cose son fatte bene… inserendo il codice giusto la pallina andrà proprio a finire nel numero corretto.

Questo percorso sul codice binario è ovviamente trasversale ad informatica e investirò alcune ore del percorso relativo al coding e al pensiero computazionale. Tra le attività interessanti e “motivanti” da proporre ai bambini c’è sicuramente quella della creazione del braccialetto in codice binario con la lettere iniziale del proprio nome. Infatti, il computer non usa il codice binario solo per comunicare numeri ma anche parole e quindi lettere. Ad ogni lettera dell’alfabeto infatti è associato un codice da 8 cifre.

Quindi, se voglio scrivere il mio nome in codice binario dovrò digitare: 01001101 01001001 01000011 01001000 01001100 01000001

Con la classe possiamo pensare di creare un braccialetto a due colori (ad esempio con perline arancione per indicare lo 0 e  blu per indicare l’1) e infilarle nello spago seguendo esattamente il codice che indica l’inziale del nome e quella del cognome. Il mio braccialetto allora sarebbe così: 01001101 01010011

Dopo aver operato raggruppamenti, parlato di codice binario, consolidato il concetto di decina e compreso l’importanza del sistema decimale inizia l’avventura alla scoperta dei numeri. Lo facciamo con i regoli ma anche con raggruppamenti e abaco proprio come fatto nel precedente ciclo. Imposterò le prime pagine insieme a loro che lavoreranno seguendo un metodo di lavoro preciso e avvalendosi dei regoli e dei raggruppamenti. Poi, arrivati al tredici chiederò loro di lavorare in autonomia ricavando gli altri numeri sino al 19 e utilizzando lo stesso sistema. Io mi limiterò a scrivere alla lavagna i numeri in lettere e a verificare a fine lavoro, con proiezione alla LIM delle mie pagine elettroniche, che tutti abbiamo lavorato nel modo corretto. Ecco l’esempio della pagina del 12: